Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна [math]\displaystyle{ G_{2k} }[/math] веса [math]\displaystyle{ 2k }[/math] — функция, определённая на верхней полуплоскости [math]\displaystyle{ \{Im(\tau)\gt 0\}\subset \Complex }[/math] и заданная как сумма ряда

[math]\displaystyle{ G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}. }[/math]

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной [math]\displaystyle{ \tau }[/math].

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса [math]\displaystyle{ 2k }[/math]: для любых целых [math]\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Z} }[/math] с [math]\displaystyle{ ad-bc=1 }[/math] имеем

[math]\displaystyle{ G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau). }[/math]

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки [math]\displaystyle{ \Gamma=\langle 1,\tau \rangle }[/math], продолжив его на всё пространство решёток:

[math]\displaystyle{ G_{2k}(\Gamma)=\sum_{z\in \Gamma\setminus \{0\} } z^{-2k}. }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ G_{2k}(\lambda \Gamma) = \lambda^{-2k} G_{2k}(\Gamma). }[/math] Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса [math]\displaystyle{ \{\tau,1\} }[/math] к базису [math]\displaystyle{ \{a\tau+b,c\tau+d\} }[/math] той же решётки (что не изменяет значения [math]\displaystyle{ G_{2k}(\Gamma) }[/math]) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса [math]\displaystyle{ 2m }[/math]) выражается как полином от [math]\displaystyle{ G_4 }[/math] и [math]\displaystyle{ G_6 }[/math]:

[math]\displaystyle{ f=\sum_{4k+6l=2m} a_{k} G_4^k G_6^l. }[/math]

Связь с эллиптическими кривыми

[math]\displaystyle{ \wp }[/math]-функция Вейерштрасса эллиптической кривой [math]\displaystyle{ E=\Complex/\Gamma }[/math] раскладывается в ряд Лорана в нуле как

[math]\displaystyle{ \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2}(\Gamma) z^{2k}. }[/math]

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

[math]\displaystyle{ g_2 = 60 G_4, \quad g_3 = 140 G_6. }[/math]

Литература

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
• Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. - М., Наука, 1986. - 136 c.