Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве [math]\displaystyle{ \mathbb{H} = \{x + iy \mid y \gt 0; x, y \in \mathbb{R} \} }[/math]), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

[math]\displaystyle{ f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z) }[/math]

для каждой матрицы:

[math]\displaystyle{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ) }[/math],

принадлежащей модулярной группе [math]\displaystyle{ PSL(2,\Z) }[/math].

Модулярная форма

Модулярной формой веса [math]\displaystyle{ k }[/math] для группы [math]\displaystyle{ \Gamma_{0}(N) }[/math] называется голоморфная функция [math]\displaystyle{ f\colon H \rightarrow C }[/math], удовлетворяющая условию:

[math]\displaystyle{ f(g \tau) = (c \tau + d)^{k} f(\tau) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N) }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau \in H }[/math]

и голоморфная во всех параболических точках.

Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — верхняя комплексная полуплоскость: [math]\displaystyle{ H = \left\{ z \in C \mid \mathop{\mathrm{Im}}(z) \gt 0 \right\} }[/math]. Группа матриц [math]\displaystyle{ \Gamma_{0}(N) }[/math] для натурального числа [math]\displaystyle{ N }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ \Gamma_{0}(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_{2} \;\Big\vert\; c \equiv 0 \pmod N \right\} }[/math].

Группа [math]\displaystyle{ \Gamma_{0}(N) }[/math] действует на [math]\displaystyle{ H }[/math] с помощью дробно-линейных преобразований [math]\displaystyle{ g \tau = \frac{a \tau + b}{c \tau + d}, }[/math] где [math]\displaystyle{ g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N) }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau \in H }[/math].

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса [math]\displaystyle{ 2k }[/math] является (при [math]\displaystyle{ k \gt 1 }[/math]) ряд Эйзенштейна:

[math]\displaystyle{ G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{H} }[/math].

Пусть

[math]\displaystyle{ g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6} }[/math]

— модулярные инварианты, [math]\displaystyle{ \Delta=g_2^3-27g_3^2 }[/math] — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

[math]\displaystyle{ j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta} }[/math],

выполняются равенства:

[math]\displaystyle{ g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau) }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau) }[/math].

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] — модулярная форма веса 4, [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — модулярная форма веса 12. Соответственно [math]\displaystyle{ g_2^3 }[/math] — модулярная форма веса 12, а [math]\displaystyle{ j(z) }[/math] — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
• Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
• Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
• В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.

Ссылки

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.