Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] открытыми множествами [math]\displaystyle{ D_\alpha }[/math]. Разбиением единицы подчиненным покрытию [math]\displaystyle{ \{ D_\alpha\} }[/math] называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций [math]\displaystyle{ f_\beta }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math], обладающих следующими свойствами:

• [math]\displaystyle{ 0\leqslant f_\beta\leqslant 1. }[/math]
• Носитель каждой из функций [math]\displaystyle{ f_\beta }[/math] целиком содержится в одном из множеств [math]\displaystyle{ D_\alpha }[/math].
• Для любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] имеем [math]\displaystyle{ \sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1} }[/math] (то есть при любом [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] для не более, чем счётного множества функций [math]\displaystyle{ f_\beta(x) }[/math] отлично от нуля и ряд [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}{f_{\beta_i}(x)} }[/math], где [math]\displaystyle{ \{ \beta_1, \beta_2, ...\}=\{\beta:f_{\beta}(x)\neq 0\} }[/math] сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ W\ni x }[/math], такая что пересечение [math]\displaystyle{ W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta }[/math] непусто не более чем для конечного числа индексов [math]\displaystyle{ \beta }[/math], то такое разбиение единицы называется локально конечным.

Свойства

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного T₁-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия [math]\displaystyle{ T_1 }[/math]-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
• Для всякого открытого покрытия [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math]-многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math].

Литература

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М.: иностранной литературы, 1956. — 250 с.