Равноускоренное движение

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения

Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] постоянно по модулю и направлению.

Скорость при этом определяется формулой

[math]\displaystyle{ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t }[/math],

где [math]\displaystyle{ \vec{v}_0 }[/math] — начальная скорость тела, [math]\displaystyle{ t }[/math] — время. Траектория имеет вид участка параболы или прямой.

Примером такого движения является полёт камня, брошенного под углом [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] к горизонту в однородном поле силы тяжести: камень летит с постоянным ускорением [math]\displaystyle{ \vec a = \vec g }[/math], направленным вертикально вниз.

Частным случаем равноускоренного движения является равнозамедленное, когда векторы [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] противонаправлены, а модуль скорости равномерно уменьшается со временем (в примере с камнем реализуется для [math]\displaystyle{ \alpha = 90^0 }[/math] при подъёме).

Характер равноускоренного движения

Равноускоренное движение происходит в плоскости, содержащей векторы ускорения [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] и начальной скорости [math]\displaystyle{ \vec{v}_0 }[/math]. С учётом того, что [math]\displaystyle{ \vec{v} = {\rm d}\vec{r}/{\rm d}t }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] — радиус-вектор), траектория описывается выражением

[math]\displaystyle{ \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac {\vec{a}t^2} {2} }[/math].

На заданном интервале времени она представляет собой участок параболы, который при параллельности (то есть со- или противо- направленности) векторов [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{v}_0 }[/math] превращается в отрезок прямой.

Для каждой из координат, скажем [math]\displaystyle{ y }[/math], могут быть записаны аналогичные по структуре выражения:

[math]\displaystyle{ y(t)=y_0+v_{0y}t+\frac {a_yt^2} {2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ a_y }[/math] — составляющая ускорения вдоль оси [math]\displaystyle{ y }[/math], а [math]\displaystyle{ \vec{r}_0 = x_0\vec{i} + y_0\vec{j} + z_0\vec{k} }[/math] — радиус-вектор материальной точки в момент [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ \vec{i} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math] — орты).

В примере с камнем [math]\displaystyle{ x_0 = y_0 = z_0 = 0 }[/math], компоненты ускорения [math]\displaystyle{ a_x = a_z = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_y = -g }[/math], начальной скорости [math]\displaystyle{ v_{x0} =v_0\cos\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ v_{y0}=v_0\sin\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ v_{z0} = 0 }[/math], при этом [math]\displaystyle{ x(t) = v_{0x}t }[/math], а значит, [math]\displaystyle{ y = \operatorname{tg}\alpha\cdot x - g/2v_0^2\cos^2\alpha\cdot x^2 }[/math].

Перемещение и скорость

В случае равноускоренного движения любая из компонент скорости, например [math]\displaystyle{ v_x }[/math], зависит от времени линейно:

[math]\displaystyle{ v_x = v_{0x} + a_x t }[/math].

При этом имеет место следующая связь между перемещением ([math]\displaystyle{ \Delta x = x-x_0 }[/math]) вдоль координаты [math]\displaystyle{ x }[/math] и скоростью вдоль той же координаты:

[math]\displaystyle{ \Delta x =\frac {v_x^2-v^2_{0x}} {2a_x} }[/math].

Отсюда можно получить выражение для [math]\displaystyle{ x }[/math]-составляющей конечной скорости тела при известных [math]\displaystyle{ x }[/math]-составляющих начальной скорости и ускорения:

[math]\displaystyle{ v_x=\pm\sqrt {v^2_{0x} + 2a_x \Delta x } }[/math].

Если [math]\displaystyle{ a_x=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ v_x = v_{ox} }[/math], а [math]\displaystyle{ \Delta x = v_{0x}t }[/math].

Выражения для смещений [math]\displaystyle{ \Delta y }[/math], [math]\displaystyle{ \Delta z }[/math] и компонент скорости вдоль координат [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] принимают точно такой же вид, как для [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] и [math]\displaystyle{ v_x }[/math], но символ [math]\displaystyle{ x }[/math] всюду заменяется на [math]\displaystyle{ y }[/math] или [math]\displaystyle{ z }[/math].

Суммарно, по теореме Пифагора, перемещение составит

[math]\displaystyle{ |\Delta \vec r| =\sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 } }[/math],

а модуль конечной скорости находится как

[math]\displaystyle{ |\vec v| =\sqrt {v^2_{x} + v^2_{y} + v^2_{z}} }[/math].

Равноускоренное движение не может происходить неограниченно долго: это означало бы, что, начиная с какого-то момента времени [math]\displaystyle{ t }[/math], модуль скорости тела [math]\displaystyle{ |\vec{v}| }[/math] превысит величину скорости света в вакууме [math]\displaystyle{ c }[/math], что исключается теорией относительности.

Условие осуществления

Равноускоренное движение реализуется при действии на тело (материальную точку) постоянной силы [math]\displaystyle{ \vec{F} }[/math], обычно в однородном гравитационном или электростатическом поле, если величина скорости тела значительно меньше, чем скорость света [math]\displaystyle{ c }[/math]. Тогда, по второму закону Ньютона, ускорение составит

[math]\displaystyle{ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}, }[/math]

где через [math]\displaystyle{ m }[/math] обозначена масса тела. В примере с камнем роль [math]\displaystyle{ \vec{F} }[/math] играет сила тяжести.

Если же скорость тела сопоставима со скоростью света, то закон Ньютона в выписанном виде неприменим. При этом, в случае действия постоянной силы, происходит так называемое релятивистски равноускоренное движение, при котором постоянно только собственное ускорение, а ускорение в фиксированной ИСО приближается к нулю со временем по мере приближения величины скорости к её пределу [math]\displaystyle{ c }[/math].

Теорема о кинетической энергии точки

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

[math]\displaystyle{ m a_x \Delta x =\frac{m v_x^2}{2} - \frac{m v_{0x}^2}{2} }[/math].

Записав аналогичные соотношения для координат [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] и просуммировав все три равенства, получим соотношение:

[math]\displaystyle{ \vec F \cdot \Delta\vec{r} =\frac{m v^2}{2} - \frac{m v_{0}^2}{2} }[/math].

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы [math]\displaystyle{ \vec F }[/math], а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный моменты движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения.

Равнопеременное движение

Равнопеременным называется движение, при котором тангенциальная (параллельная скорости) составляющая ускорения постоянна. Такое движение не является равноускоренным, кроме ситуации, когда оно происходит по прямой, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

В этом случае вводится обобщённая координата [math]\displaystyle{ S }[/math], часто называемая путём, соответствущая длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \Delta S =\frac {v^2-v^2_{0}} {2a_\tau} }[/math],

где [math]\displaystyle{ a_\tau }[/math] — тангенциальное ускорение, «отвечающее» за изменение модуля скорости тела. Для скорости получаем:

[math]\displaystyle{ v=\pm\sqrt {v^2_{0} + 2a_\tau \Delta S } }[/math].

При [math]\displaystyle{ a_\tau = 0 }[/math] имеем движение с постоянной по модулю скоростью.

Иногда прилагательное равнопеременное заменяют на криволинейное равноускоренное, что вносит путаницу, так как, скажем, равноускоренное движение камня по кривой (параболе) в поле тяжести не равнопеременное.

См. также

Равноускоренное движение

• Релятивистски равноускоренное движение