Теорема о кинетической энергии системы
Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].
Формулировка теоремы
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение[2][3]:
Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.
Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу)[4].
Доказательство теоремы
Рассмотрим систему материальных точек с массами [math]\displaystyle{ m_i }[/math], скоростями [math]\displaystyle{ \vec v_i }[/math] и кинетическими энергиями [math]\displaystyle{ T_i=\frac{1}{2} m_i {v_i}^2 }[/math]. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени [math]\displaystyle{ dt, }[/math] будет выполняться
- [math]\displaystyle{ dT_i= m_i \vec v_i d \vec v_i= m_i \vec v_i \frac{d \vec v_i }{dt}dt. }[/math]
Учитывая, что [math]\displaystyle{ \frac{d \vec v_i }{dt} }[/math] представляет собой ускорение i-ой точки [math]\displaystyle{ \vec a_i }[/math], а [math]\displaystyle{ \vec v_i dt }[/math] — перемещение той же точки [math]\displaystyle{ d\vec s_i }[/math] за время [math]\displaystyle{ dt }[/math], полученное выражение можно записать в виде:
- [math]\displaystyle{ dT_i= m_i \vec a_i d \vec s_i . }[/math]
Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как [math]\displaystyle{ F_i }[/math], получаем
- [math]\displaystyle{ dT_i= \vec F_i d \vec s_i , }[/math]
а затем в соответствии с определением работы [math]\displaystyle{ dA_i }[/math]
- [math]\displaystyle{ dT_i= d A_i. }[/math]
Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:
- [math]\displaystyle{ dT=\sum \limits_i d A_i . }[/math]
Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ t_2 }[/math], получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:
- [math]\displaystyle{ T_2 - T_1 = \sum \limits_i A_i , }[/math]
где [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] — значения кинетической энергии системы в моменты времени [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] соответственно.
Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.
Закон сохранения механической энергии
Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы[5]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:
- [math]\displaystyle{ W_{2i} - W_{1i} = - A_{pi}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ W_{1i} }[/math] и [math]\displaystyle{ W_{2i} }[/math] — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а [math]\displaystyle{ A_{pi} }[/math] — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.
Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:
- [math]\displaystyle{ W_2 - W_1 = - \sum \limits_i A_{pi} . }[/math]
Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны[6], то
- [math]\displaystyle{ \sum \limits_i A_i = \sum \limits_i A_{pi} = - (W_2 - W_1). }[/math]
Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:
- [math]\displaystyle{ T_2 - T_1 = - (W_2 - W_1) }[/math]
или, что то же самое
- [math]\displaystyle{ T_2 + W_2 = T_1 + W_1. }[/math]
Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы [math]\displaystyle{ T + W }[/math] выполняется
- [math]\displaystyle{ T + W = const. }[/math]
Таким образом, можно сделать вывод:
Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.
Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии[2][3].
Случай системы с идеальными стационарными связями
В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.
Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает[7]:
Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил
Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики [math]\displaystyle{ \delta \vec{r}_k }[/math] на [math]\displaystyle{ \vec{v}_k dt }[/math], получаем:
- [math]\displaystyle{ (\sum m_k \vec{w}_k ) \vec{v}_k dt = \sum \vec{F}_k \vec{v}_k dt }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ (d \sum m_{k} \vec{v}_k) \vec{v}_k = \sum \vec{F}_{k}^{ae} \vec{v}_k dt + \sum \vec{F}_{k}^{ai} \vec{v}_k dt }[/math]
Поскольку [math]\displaystyle{ d \vec{v}_k \vec{v}_k = d \frac{v_k^2}{2} }[/math], получаем окончательно:
- [math]\displaystyle{ dT = d'A^{ae} + d'A^{ai} }[/math]
Верхние значки в этих выражениях обозначают: [math]\displaystyle{ ^a }[/math] — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, [math]\displaystyle{ ^e }[/math] (от англ. external) и [math]\displaystyle{ ^i }[/math] (от англ. internal) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.
См. также
Примечания
- ↑ Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 301-323. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001. — С. 70-71. — 319 с. — ISBN 5-95052-041-3.
- ↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
- ↑ Напомним, что силы называют потенциальными, если работа, совершаемая ими при перемещении материальной точки, определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от выбора траектории.
- ↑ То есть, диссипативные силы отсутствуют.
- ↑ 7,0 7,1 Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5