Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math], и в этом случае его степень равна n.

Примеры

[math]\displaystyle{ \mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n. }[/math]

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] обозначает множество всех разбиений множества [math]\displaystyle{ \{1, 2,\dots, 2n\} }[/math] на неупорядоченные пары (всего существует [math]\displaystyle{ (2n-1)!! }[/math] таких разбиений). Разбиение [math]\displaystyle{ \alpha\in \Pi }[/math] может быть записано

[math]\displaystyle{ \alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ i_k\lt j_k }[/math] и [math]\displaystyle{ i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_n }[/math]. Пусть

[math]\displaystyle{ \pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix} }[/math]

обозначает соответствующую перестановку, а [math]\displaystyle{ \mbox{sgn}(\alpha) }[/math] — знак перестановки [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Нетрудно видеть, что [math]\displaystyle{ \mbox{sgn}(\alpha) }[/math] не зависит от выбора [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ A = \{a_{ij}\} }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math] кососимметричную матрицу. Для разбиения [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] определим

[math]\displaystyle{ A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}. }[/math]

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

[math]\displaystyle{ \operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha. }[/math]

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

Пфаффиан матрицы размера [math]\displaystyle{ 0\times 0 }[/math] полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math] при [math]\displaystyle{ n \gt 0 }[/math] может быть определён рекурсивно следующим образом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{Pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}), }[/math]

где индекс [math]\displaystyle{ i }[/math] может быть выбран произвольно, [math]\displaystyle{ \theta(i-j) }[/math] — функция Хевисайда, [math]\displaystyle{ A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}} }[/math] обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

Для [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math] кососимметричной матрицы [math]\displaystyle{ A = \{a_{ij}\} }[/math] рассмотрим бивектор:

[math]\displaystyle{ \omega=\sum_{i\lt j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} }[/math] есть стандартный базис в [math]\displaystyle{ \mathbb R^{2n} }[/math]. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega^{\wedge n} }[/math] обозначает внешнее произведение n копий [math]\displaystyle{ \omega }[/math].

Свойства

Для [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math] кососимметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и для произвольной [math]\displaystyle{ 2n\times 2n }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math]:

• [math]\displaystyle{ \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A) }[/math]

• Для блок-диагональной матрицы

[math]\displaystyle{ \mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2). }[/math]

• Для произвольной [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M. }[/math]

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Литература

• Вялый М. Н. Пфаффианы для задач перечисления // Летняя школа «Современная математика». — 2004.
• Вялый М. Н. Пфаффианы или искусство расставлять знаки… // Математическое Просвещение. — 2005. — № 9.