Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

[math]\displaystyle{ Tf(u) = \int\limits_{S}K(t, u)\, f(t)\, dt }[/math],

где функции [math]\displaystyle{ f, Tf }[/math] называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства [math]\displaystyle{ L }[/math], при этом функция [math]\displaystyle{ K }[/math] называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

[math]\displaystyle{ f(t) = \int\limits_{S'} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du. }[/math]

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

[math]\displaystyle{ Tf(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt }[/math],

[math]\displaystyle{ f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du }[/math],

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)
Преобразование	Обозначение	[math]\displaystyle{ K }[/math]	t₁	t₂	[math]\displaystyle{ K^{-1} }[/math]	u₁	u₂
Преобразование Фурье	[math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Синус-преобразование Фурье	[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_s }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Косинус-преобразование Фурье	[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_c }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Преобразование Хартли	[math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Преобразование Меллина	[math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math]	[math]\displaystyle{ t^{u-1} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{t^{-u}}{2\pi i} }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!-\!i\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!+\!i\infty }[/math]
Двустороннее преобразование Лапласа	[math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]	[math]\displaystyle{ e^{-ut} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{+ut}}{2\pi i} }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!-\!i\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!+\!i\infty }[/math]
Преобразование Лапласа	[math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]	[math]\displaystyle{ e^{-ut} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{+ut}}{2\pi i} }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!-\!i\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!+\!i\infty }[/math]
Преобразование Вейерштрасса^?!	[math]\displaystyle{ \mathcal{W} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}} }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!-\!i\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ c\!+\!i\infty }[/math]
Преобразование Ханкеля		[math]\displaystyle{ t\,J_\nu(ut) }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ u\,J_\nu(ut) }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Интегральное преобразование Абеля		[math]\displaystyle{ \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ u }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} }[/math]	[math]\displaystyle{ t }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Преобразование Гильберта	[math]\displaystyle{ \mathcal{H}il }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ -\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
Ядро Пуассона		[math]\displaystyle{ \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]
Идентичное преобразование		[math]\displaystyle{ \delta (u-t) }[/math]	[math]\displaystyle{ t_1\lt u }[/math]	[math]\displaystyle{ t_2\gt u }[/math]	[math]\displaystyle{ \delta (t-u) }[/math]	[math]\displaystyle{ u_1\!\lt \!t }[/math]	[math]\displaystyle{ u_2\!\gt \!t }[/math]

Список интегральных преобразований

Литература

Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.

См. также

Дискретные преобразования

Ссылки

Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.