Формула Крофтона

Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Названа в честь Моргана Крофтона.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — спрямляемая плоская кривая. Для прямой [math]\displaystyle{ l }[/math], обозначим через [math]\displaystyle{ n_\gamma(l) }[/math] число точек, в которых [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ l }[/math] пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые [math]\displaystyle{ l }[/math] углом [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] к выбранному направлению и расстоянием [math]\displaystyle{ p }[/math] от начала координат взятым со знаком. Тогда длина кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] равна

[math]\displaystyle{ L = \frac14 \int\limits_0^{2\cdot\pi}d\varphi\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} n_\gamma(\varphi, p)\cdot dp. }[/math]

Замечания

• Дифференциальная форма

  [math]\displaystyle{ d\varphi\wedge dp }[/math]

инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.

• Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.

Приложения

Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:

• Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
• Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины [math]\displaystyle{ a }[/math] имеет периметр [math]\displaystyle{ \pi\cdot a }[/math].
• Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
• Если сферическая кривая имеет длину меньше [math]\displaystyle{ 2{\cdot}\pi }[/math], то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой.

Вариации и обобщения

• Задача Бюффона о бросании иглы

• Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
  • Например, длина кривой на единичной сфере равна [math]\displaystyle{ \pi\cdot n }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.

• Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
• Формула Сантало

Литература

• Tabachnikov, Serge. Geometry and Billiards (англ.). — AMS, 2005. — P. 36—40. — ISBN 0-8218-3919-5.
• Santalo, L. A. Introduction to Integral Geometry (англ.). — 1953. — P. 12—13, 54.
• Лекция 19 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.