Поток (геометрическая теория меры)

Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.

Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.

Определение

Обозначим через [math]\displaystyle{ \Omega_c^m(M) }[/math] пространство гладких [math]\displaystyle{ m }[/math]-форм с компактным носителем на гладком многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math]. Поток определяется как  линейный функционал на [math]\displaystyle{ \Omega_c^m(M) }[/math] непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал

[math]\displaystyle{ T\colon \Omega_c^m(M)\to \mathbb{R} }[/math]

есть [math]\displaystyle{ m }[/math]-поток, если для любой последовательности [math]\displaystyle{ \omega_k }[/math] гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math] имеем

[math]\displaystyle{ T(\omega_k)\to 0 }[/math]

Замечания

• Пространство [math]\displaystyle{ \mathcal D_m(M) }[/math] из [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерных потоков на [math]\displaystyle{ M }[/math] это вещественное векторное пространство.

• Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока [math]\displaystyle{ T }[/math] как дополнение максимальному открытому множеству [math]\displaystyle{ U \subset M }[/math] такому, что

  [math]\displaystyle{ T(\omega) = 0 }[/math] для любой формы [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega_c^m(U) }[/math].

  • Пространство [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают [math]\displaystyle{ \mathcal E_m(M) }[/math].

• Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.

  [math]\displaystyle{ T_k\to T\quad \iff\quad T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\, }[/math]

Нормы

Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.

[math]\displaystyle{ \mathbf M (T) := \sup\{ T(\omega)\colon \sup_x |\vert\omega(x)|\vert\le 1\}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ |\vert\omega(x)\vert| }[/math] есть [math]\displaystyle{ L^\infty }[/math]-норма на пространстве форм.

Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.

Плоская норма, определяется как

[math]\displaystyle{ \mathbf F (T) := \inf \{\mathbf M(T - \partial A) + \mathbf M(A) \colon A\in\mathcal E_{m+1}\}. }[/math]

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.