Многочлен Бернштейна

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

[math]\displaystyle{ b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math] — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства [math]\displaystyle{ \Pi_n }[/math] многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

[math]\displaystyle{ B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x) }[/math]

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты [math]\displaystyle{ f\left(\frac{k}{n}\right) }[/math] называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

[math]\displaystyle{ b_{0,0}(x) = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{0,1}(x) = 1-x }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{1,1}(x) = x }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{0,2}(x) = (1-x)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{1,2}(x) = 2x(1-x) }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{2,2}(x) = x^2 \ . }[/math]

Свойства

Дифференцирование

[math]\displaystyle{ b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{k,n}^{(l)}(x)=\frac{n!}{(n-l)!}\sum_{j=0}^{l}\binom{l}{j}b_{k-j,n-l}(x) }[/math]

Леммы о моментах

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1 }[/math] для любых n и x, так как [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0 }[/math] для любых n и x

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n }[/math] для любых n и x

См. также

• Кривая Безье
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Формулы Ньютона
• Многочлен Лагранжа