Нерв покрытия

Нерв покрытия — конструкция в топологии, дающая симплициальный комплекс по произвольному покрытию.

Понятие нерва покрытия было введёно Александровым .

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \{W_\alpha\} }[/math] — конечное покрытие топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]. Нерв покрытия [math]\displaystyle{ \{W_\alpha\} }[/math] — это абстрактный симплициальный комплекс [math]\displaystyle{ N }[/math], множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом [math]\displaystyle{ N }[/math] содержит симплекс с вершинами [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n }[/math] тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^nW_{\alpha_i}\not=\varnothing }[/math].

Вариации и обобщения

• Граф пересечений — 1-мерный остов нерва.

Свойства

• (теорема о нерве) Если [math]\displaystyle{ X }[/math] триангулируемо и [math]\displaystyle{ \{W_\alpha\} }[/math] — конечное покрытие замкнутыми множествами, причём все непустые пересечения стягиваемы, то нерв покрытия гомотопически эквивалентен [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

См. также

• Когомологии Александрова — Чеха