Первообразный корень из единицы

Первообразный корень (или примитивный корень) степени [math]\displaystyle{ m }[/math] из единицы в поле [math]\displaystyle{ K }[/math] ― это такой элемент [math]\displaystyle{ \xi\in K }[/math], что [math]\displaystyle{ \xi^m = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \xi^\ell \not= 1 }[/math] для любого натурального [math]\displaystyle{ \ell\lt m }[/math].

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня [math]\displaystyle{ \xi }[/math] образуют циклическую группу корней порядка [math]\displaystyle{ m }[/math] из единицы.

Свойства

• Если в поле [math]\displaystyle{ K }[/math] существует первообразный корень степени [math]\displaystyle{ m }[/math], то [math]\displaystyle{ m }[/math] взаимно просто с характеристикой поля [math]\displaystyle{ K }[/math].
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если [math]\displaystyle{ \xi }[/math] ― первообразный корень степени [math]\displaystyle{ m }[/math], то для любого [math]\displaystyle{ \ell }[/math] взаимно простого с [math]\displaystyle{ m }[/math], элемент [math]\displaystyle{ \xi^\ell }[/math] также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени [math]\displaystyle{ m }[/math] (когда они существуют) равно значению функции Эйлера [math]\displaystyle{ \varphi(m) }[/math].
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  [math]\displaystyle{ e^{2\pi{i}\ell/m}=\cos\frac{2\pi\ell}{m}+i\sin\frac{2\pi\ell}{m} }[/math],

  где [math]\displaystyle{ \ell }[/math] взаимно просто с [math]\displaystyle{ m }[/math].

• В конечном поле [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_q }[/math], где q — степень простого числа, первообразный корень степени [math]\displaystyle{ q - 1 }[/math] является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Milne, James S. Algebraic Number Theory (неопр.). Course Notes (2014). Дата обращения: 1 октября 2014. Архивировано 17 декабря 2014 года.