Остаточно конечная группа
Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа [math]\displaystyle{ G }[/math] такая, что для любого элемента [math]\displaystyle{ g \ne 1 }[/math] найдётся гомоморфизм [math]\displaystyle{ h\colon G\to F }[/math] в конечную группу [math]\displaystyle{ F }[/math], удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ h(g)\ne 1 }[/math].
Примеры
- Любая конечная группа остаточно конечна;
- Любая свободная группа остаточно конечна;
- Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
- Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
- Группа Баумслага — Солитера [math]\displaystyle{ BS(m,n) }[/math] остаточно конечна тогда и только тогда когда [math]\displaystyle{ |m|=1 }[/math], [math]\displaystyle{ |n|=1 }[/math], или [math]\displaystyle{ |m|=|n| }[/math][1].
Свойства
- Теорема Мальцева.[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
- Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
- Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
- Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
- В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
- Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.
Литература
- ↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups.
- ↑ A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18