Остаточно конечная группа

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа [math]\displaystyle{ G }[/math] такая, что для любого элемента [math]\displaystyle{ g \ne 1 }[/math] найдётся гомоморфизм [math]\displaystyle{ h\colon G\to F }[/math] в конечную группу [math]\displaystyle{ F }[/math], удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ h(g)\ne 1 }[/math].

Примеры

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
• Группа Баумслага — Солитера [math]\displaystyle{ BS(m,n) }[/math] остаточно конечна тогда и только тогда когда [math]\displaystyle{ |m|=1 }[/math], [math]\displaystyle{ |n|=1 }[/math], или [math]\displaystyle{ |m|=|n| }[/math].

Свойства

• Теорема Мальцева. Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.