Оператор координаты

Оператор координаты — квантово-механический оператор, наряду с оператором импульса, использующийся для описания поведения системы. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

В координатном представлении оператор [math]\displaystyle{ \hat{X} }[/math] — сама координата [math]\displaystyle{ x }[/math]; в импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу:

[math]\displaystyle{ \hat{X} = i\hbar \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}} }[/math].

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть:

[math]\displaystyle{ [\hat{X}, \hat{P}] \not\equiv 0 }[/math]

Таким образом, для пары наблюдаемых величин [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math] выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

[math]\displaystyle{ \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} }[/math],

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

[math]\displaystyle{ [\hat{X},\hat{P_{x}}]= i\hbar }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat{Y},\hat{P_{y}}]= i\hbar }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat{Z},\hat{P_{z}}]= i\hbar }[/math]

и все остальные коммутаторы между [math]\displaystyle{ \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z}, \hat{P_{x}}, \hat{P_{y}}, \hat{P_{z}} }[/math] равны 0.

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией [math]\displaystyle{ \psi }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ \langle x\rangle =(\hat{X}\psi,\psi* ) = \langle\psi\vert\hat{X}\vert\psi\rangle = \int\limits_{V}{x\psi^\ast\psi}dV }[/math]

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.