Обратимая функция

График линейной функции, которая является обратимой.

График квадратичной функции, которая не является обратимой.

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

Определение

Если функция [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] такова, что для любого её значения [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] уравнение [math]\displaystyle{ f(x) = y_0 }[/math] имеет относительно [math]\displaystyle{ x }[/math] единственный корень, то говорят, что функция [math]\displaystyle{ f }[/math] обратима.

Свойства

1. Если функция [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] определена и возрастает (или убывает) на промежутке [math]\displaystyle{ X }[/math] и областью её значений является промежуток [math]\displaystyle{ Y }[/math], то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на [math]\displaystyle{ X }[/math].
2. Если функция [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math] относительно [math]\displaystyle{ x }[/math], а потом поменять местами [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math].
3. Если уравнение [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math] имеет более одного корня, то функции, обратной функции [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math], не существует.
4. Графики обратных функций симметричны относительно прямой [math]\displaystyle{ y = x }[/math].
5. Если [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] – функции, обратные друг другу, то [math]\displaystyle{ E(f) = D(g) }[/math], [math]\displaystyle{ D(f) = E(g) }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] – области определения и значений соответственно.
6. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры

• Функция [math]\displaystyle{ y = x^2 }[/math] не является обратимой на [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], но обратима при [math]\displaystyle{ x \geqslant 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ x \leqslant 0 }[/math] .
• Функция [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] не является обратимой на [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.

См. также

• Обратная функция