Нормальная форма Смита

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы.

Формулировка

Для любой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] над областью главных идеалов [math]\displaystyle{ R }[/math] существуют такие обратимые над [math]\displaystyle{ R }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math], что [math]\displaystyle{ BAC=\mathrm{diag}(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{p}, 0, \ldots, 0) }[/math], где [math]\displaystyle{ g_{i+1} }[/math] делится на [math]\displaystyle{ g_{i} }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{diag}(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{p}, 0, \ldots, 0) }[/math] обозначает матрицу размера [math]\displaystyle{ m\times n }[/math] с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях.

Применения

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если [math]\displaystyle{ R }[/math] — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если [math]\displaystyle{ R=F[t] }[/math] — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем [math]\displaystyle{ F }[/math], то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

См. также

• Эрмитова нормальная форма

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.