Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал — идеал [math]\displaystyle{ I }[/math] кольца [math]\displaystyle{ R }[/math], для которого существует натуральное число [math]\displaystyle{ k }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ I^k = 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ I^k }[/math] — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из [math]\displaystyle{ k }[/math] элементов идеала [math]\displaystyle{ I }[/math], то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число [math]\displaystyle{ k }[/math], такое, что произведение любых [math]\displaystyle{ k }[/math] элементов идеала [math]\displaystyle{ I }[/math] равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

В кольце [math]\displaystyle{ \Z_{p^n} }[/math] вычетов по модулю [math]\displaystyle{ p^n }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).

В конечномерной алгебре Ли [math]\displaystyle{ g }[/math] существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов [math]\displaystyle{ x\in g }[/math], для которых эндоморфизм [math]\displaystyle{ y\to[x,y] }[/math] для [math]\displaystyle{ y\in g }[/math] нильпотентен.

Связь с ниль-идеалами

Всякий нильпотентный идеал является ниль-идеалом, обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементов.

В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентным. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема Левицкого.

Литература

• I. N. Herstein. Noncommutative rings. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца / Перевод Е.Н. Кузьмина. — М.: «Мир», 1972.
• I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2.
• Ленг С. Алгебра. — М., 1968.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М., 1961.
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. — М., 1977. — Т. 1.
• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.