Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math], а не только значения [math]\displaystyle{ 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество,

Определение

Под нечётким множеством [math]\displaystyle{ A }[/math] понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов [math]\displaystyle{ x }[/math] универсального множества [math]\displaystyle{ X }[/math] и соответствующих степеней принадлежности [math]\displaystyle{ \mu_A(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\} }[/math],

причём [math]\displaystyle{ \mu_A(x) }[/math] — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] принадлежит нечёткому множеству [math]\displaystyle{ A }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ \mu_A(x) \ }[/math] принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве [math]\displaystyle{ M }[/math]. Множество [math]\displaystyle{ M }[/math] называют множеством принадлежностей, часто в качестве [math]\displaystyle{ M }[/math] выбирается отрезок [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math]. Если [math]\displaystyle{ M = \{0, 1\} \ }[/math] (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] нечёткое множество с элементами из универсального множества [math]\displaystyle{ X \ }[/math] и множеством принадлежностей [math]\displaystyle{ M = [0, 1] }[/math]. Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества [math]\displaystyle{ \operatorname{supp} A }[/math] называется множество [math]\displaystyle{ \{x \mid x \in X, \mu_A(x) \gt 0 \} }[/math];
• величина [math]\displaystyle{ \sup_{x \in X} \mu_A(x) }[/math] называется высотой нечёткого множества [math]\displaystyle{ A \ }[/math]. Нечёткое множество [math]\displaystyle{ A \ }[/math] нормально, если его высота равна [math]\displaystyle{ 1 \ }[/math]. Если высота строго меньше [math]\displaystyle{ 1 \ }[/math], нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если [math]\displaystyle{ \forall x \in X :\mu_A(x) = 0 }[/math]. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  [math]\displaystyle{ \mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)} }[/math];

• нечёткое множество унимодально, если [math]\displaystyle{ \mu_A(x) = 1 \ }[/math] только на одном [math]\displaystyle{ x \ }[/math] из [math]\displaystyle{ X \ }[/math];
• элементы [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], для которых [math]\displaystyle{ \mu_A(x) = 0{,}5 }[/math], называются точками перехода нечёткого множества [math]\displaystyle{ A \ }[/math].

Сравнение нечётких множеств

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] нечёткие множества, заданные на универсальном множестве [math]\displaystyle{ X }[/math].

• [math]\displaystyle{ A }[/math] содержится в [math]\displaystyle{ B }[/math], если для любого элемента из [math]\displaystyle{ X }[/math] функция его принадлежности множеству [math]\displaystyle{ A }[/math] будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству [math]\displaystyle{ B }[/math]:

  [math]\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x) }[/math].

• В случае, если условие [math]\displaystyle{ \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x) }[/math] выполняется не для всех [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], говорят о степени включения нечёткого множества [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ B }[/math], которое определяется так:

  [math]\displaystyle{ l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ T = \{x \in X;\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x), \mu_A(x)\gt 0 \} }[/math].

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  [math]\displaystyle{ A = B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) = \mu_B(x) }[/math].

• В случае, если значения функций принадлежности [math]\displaystyle{ \mu_A(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu_B(x) }[/math] почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], например, в виде

  [math]\displaystyle{ E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)| }[/math], где [math]\displaystyle{ T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\} }[/math].

Свойства нечётких множеств

[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-срезом нечёткого множества [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math], обозначаемым как [math]\displaystyle{ A_\alpha }[/math], называется следующее чёткое множество:

[math]\displaystyle{ A_\alpha= \{x \in X \mid \mu_A(x)\geqslant \alpha\} }[/math],

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

[math]\displaystyle{ \chi_{A_\alpha}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) \lt \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) \geqslant \alpha. \end{matrix}\right. }[/math]

Для [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-среза нечёткого множества истинна импликация:

[math]\displaystyle{ \alpha_1 \lt \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2} }[/math].

Нечёткое множество [math]\displaystyle{ A \subseteq \mathbf{R} }[/math] является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geqslant \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbf{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma \in [0, 1] }[/math].

Нечёткое множество [math]\displaystyle{ A \subseteq \mathbf{R} }[/math] является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leqslant \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbf{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma \in [0, 1] }[/math].

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей [math]\displaystyle{ M = [0, 1] \ }[/math]

• Пересечением нечётких множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math]:

  [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math].

• Произведением нечётких множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  [math]\displaystyle{ \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x) }[/math].

• Объединением нечётких множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math]:

  [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math].

• Суммой нечётких множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  [math]\displaystyle{ \mu_{A+B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x) }[/math].

• Отрицанием множества [math]\displaystyle{ A \ }[/math] называется множество [math]\displaystyle{ \overline A }[/math] с функцией принадлежности:

  [math]\displaystyle{ \mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x) }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ x \in X }[/math].

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math],

где функция [math]\displaystyle{ T }[/math] — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)\lt 1,\mu_B(x)\lt 1, \end{matrix}\right. }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\} }[/math], для [math]\displaystyle{ p \geqslant 1 }[/math]

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math],

где функция [math]\displaystyle{ S }[/math] — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x)) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)\gt 0,\mu_B(x)\gt 0 \end{matrix}\right. }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\} }[/math], для [math]\displaystyle{ p \geqslant 1 }[/math]

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности [math]\displaystyle{ \mu_A(x) \ }[/math] можно рассматривать как вероятность накрытия элемента [math]\displaystyle{ x \ }[/math] некоторым случайным множеством [math]\displaystyle{ B \ }[/math].

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

• множество [math]\displaystyle{ X = \{x_1, x_2, x_3, x_4\} }[/math]
• множество принадлежностей [math]\displaystyle{ M = [0, 1] }[/math]
• [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — два нечётких подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ B = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \} }[/math]

Результаты основных операций:

• пересечение: [math]\displaystyle{ {A\cap B} = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \} = {B} }[/math]
• объединение: [math]\displaystyle{ {A\cup B} = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \} = {A} }[/math]

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
• Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
• Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338-353.
• Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с. — 7600 экз.
• Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.[1]