Фильтр с конечной импульсной характеристикой

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response — конечная импульсная характеристика) — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — константа.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра:

[math]\displaystyle{ y\left (n\right)=b_0 x\left(n\right)+ b_1 x\left(n-1 \right)+...+b_P x\left(n-P \right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ P }[/math] — порядок фильтра, [math]\displaystyle{ x(n) }[/math] — входной сигнал, [math]\displaystyle{ y(n) }[/math] — выходной сигнал, а [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math] — коэффициенты фильтра.

Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений [math]\displaystyle{ P }[/math] предыдущих отсчетов в силу свойства линейности. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов [math]\displaystyle{ P }[/math] предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после [math]\displaystyle{ P }[/math] отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, поэтому все члены после [math]\displaystyle{ P }[/math]-го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

[math]\displaystyle{ y \left( n \right) = \sum_{i=0}^{P} b_i x \left( n-i \right) }[/math]

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

[math]\displaystyle{ x(n) = \delta(n) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta(n) }[/math] — дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

[math]\displaystyle{ h\left (n\right)=\sum_{i=0}^{P}b_i \delta\left(n-i\right) }[/math]

Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:

[math]\displaystyle{ H\left(z\right)=\sum_{i=0}^{P}b_i z^{-i} }[/math]

Свойства

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:

КИХ-фильтры устойчивы.
КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

Прямая форма КИХ-фильтра

КИХ-фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.

См. также

Ссылки