Неравенство Бишопа — Громова

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

[math]\displaystyle{ \mathrm{Ric} \geqslant (n-1) K }[/math]

для постоянной [math]\displaystyle{ K\in \mathbb{R} }[/math].

Обозначим через [math]\displaystyle{ B(p,r)_M }[/math] шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{M}^n(K) }[/math] обозначает n-мерное модельное пространство. То есть [math]\displaystyle{ \mathbb{M}^n(K) }[/math] — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны [math]\displaystyle{ K }[/math]. Таким образом,

• [math]\displaystyle{ \mathbb{M}^n(K) }[/math] является n-сферой радиуса [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{K} }[/math], если [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math], или
• n-мерным евклидовым пространством, если [math]\displaystyle{ K=0 }[/math], или
• пространством Лобачевского с кривизной [math]\displaystyle{ K\lt 0 }[/math].

Тогда для любых [math]\displaystyle{ p\in M }[/math] и [math]\displaystyle{ \tilde p\in\mathbb{M}^n(K) }[/math] функция

[math]\displaystyle{ \phi(r) = \frac{\operatorname{Vol} B(p,r)_M}{\operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}} }[/math]

не возрастает в интервале [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

Замечания

• При [math]\displaystyle{ K=0 }[/math] неравенство можно записать следующим образом

  [math]\displaystyle{ \operatorname{Vol} B(p,\lambda\cdot r)_M\leqslant \lambda^n\cdot \operatorname{Vol} B(p,r)_M }[/math]

при [math]\displaystyle{ \lambda\geqslant 1 }[/math].

• Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что

  [math]\displaystyle{ \operatorname{Vol}B(p,r)_M \leqslant \operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}. }[/math]

Эта версия впервые доказана Бишопом.

См. также

• Теорема Майерса