Матрица Лемера

Матрица Лемера — симметричная матрица [math]\displaystyle{ L^n }[/math], определяемая для каждого [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] как:

[math]\displaystyle{ L^n_{ij} = \frac{\mbox{min}(i,j)}{\mbox{max}(i,j)} }[/math].

Названа в честь Деррика Лемера.

Каждая из матриц Лемера [math]\displaystyle{ L^n }[/math] является подматрицей [math]\displaystyle{ L^{n+m} }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ L^{n+1}_{ij}=L^n_{ij} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i,j\leqslant n }[/math]). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след [math]\displaystyle{ L^n }[/math] равен [math]\displaystyle{ n }[/math].

Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] обратной к матрице Лемера [math]\displaystyle{ L^{n+m} }[/math] совпадает с обратной к матрице [math]\displaystyle{ L^n }[/math] за исключением элемента с индексом [math]\displaystyle{ (n, n) }[/math].

Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} & A_2^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 \\ -2/3 & {\color{BrickRed}\mathbf{4/3}} \end{pmatrix} \\ \\ A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 & 1 \end{pmatrix} & A_3^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 & \\ -2/3 & 32/15 & -6/5 \\ & -6/5 & {\color{BrickRed}\mathbf{9/5}} \end{pmatrix} \\ \\ A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/2 & 1 & 2/3 & 1/2 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 3/4 \\ 1/4 & 1/2 & 3/4 & 1 \end{pmatrix} & A_4^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 & & \\ -2/3 & 32/15 & -6/5 & \\ & -6/5 & 108/35 & -12/7 \\ & & -12/7 & {\color{BrickRed}\mathbf{16/7}} \end{pmatrix} \\ \end{array} }[/math]

Ссылки

• M. Newman and J. Todd, The evaluation of matrix inversion programs, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, pages 466—476.