Логарифмический декремент колебаний

Логарифм отношения амплитуд в точках, ограниченных периодом Т, равен логарифмическому декременту колебаний λ

Логарифми́ческий декреме́нт колеба́ний (декреме́нт затуха́ния; от лат. decrementum — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины x в одну и ту же сторону:

[math]\displaystyle{ \lambda = \ln \frac{x_0}{x_1}. }[/math]

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T:

[math]\displaystyle{ \lambda = \beta T . }[/math]

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

[math]\displaystyle{ x(t) = Ae^{-\beta t}\cos \omega t, }[/math]

где A = x(0) — начальная амплитуда, t — время, ω = 2π/T — циклическая частота колебания.

Обозначив X_n = x(nT), получаем отсюда, что отношение величин X_k и X_k+1 равно

[math]\displaystyle{ X_k/X_{k+1} = \frac{e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1) \beta T}}\cdot \frac{\cos (2\pi k)}{\cos (2\pi (k+1))} = e^{\beta T}. }[/math]

Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты:

[math]\displaystyle{ \lambda = \ln (X_k/X_{k+1}) = \ln e^{\beta T} = \beta T. }[/math]

Если энергия колебательной системы пропорциональна x, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

[math]\displaystyle{ Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-\lambda}}, }[/math]

а логарифмический декремент выражается через добротность как

[math]\displaystyle{ \lambda = -\ln \left(1 - \frac{2\pi}{Q}\right). }[/math]

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) [math]\displaystyle{ \lambda \ll 1, }[/math] поэтому можно, разложив [math]\displaystyle{ e^{-\lambda} }[/math] в ряд Маклорена по λ, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах [math]\displaystyle{ e^{-\lambda} }[/math] на [math]\displaystyle{ 1 - \lambda, }[/math] что приводит к

[math]\displaystyle{ Q \approx \frac{2\pi}{\lambda},\qquad \lambda \approx \frac{2\pi}{Q}. }[/math]

Ссылки

• Декремент затухания // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 578. — 707 с. — 100 000 экз.