Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — произвольные множества, а [math]\displaystyle{ 2^Y }[/math] — совокупность всех подмножеств множества [math]\displaystyle{ Y. }[/math] Многозначным отображением из множества [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется всякое отображение [math]\displaystyle{ F : \ X \to 2^Y. }[/math] Обычно областью определения многозначного отображения [math]\displaystyle{ F }[/math] является подмножество [math]\displaystyle{ X \subset \mathbb{R}^n }[/math], а областью значений — пространство [math]\displaystyle{ \Omega(Y) \subset 2^Y, }[/math] состоящее из непустых компактных подмножеств множества [math]\displaystyle{ Y \subset \mathbb{R}^m, }[/math] то есть [math]\displaystyle{ F: X \to \Omega(Y). }[/math]

Пример 1. Пусть [math]\displaystyle{ X = Y = \mathbb{R} }[/math]. Ставя в соответствие каждому значению [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] отрезок [math]\displaystyle{ [-|x|,\,|x|], }[/math] мы получаем многозначное отображение [math]\displaystyle{ F: \mathbb{R} \to \Omega(\mathbb{R}). }[/math]

Пример 2. Пусть [math]\displaystyle{ f: [0,1] \to \mathbb{R} }[/math] — непрерывная функция. Положим [math]\displaystyle{ X = [\min f,+\infty] }[/math] и [math]\displaystyle{ Y = [0,1]. }[/math] Ставя в соответствие каждому значению [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] множество [math]\displaystyle{ M(x)=\{y\in [0,1] : f(y)\le x\}, }[/math] мы получаем многозначное отображение [math]\displaystyle{ F: X \to \Omega(Y). }[/math]

Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

Пространство [math]\displaystyle{ \Omega(\mathbb{R}^m) }[/math] является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
Рассматривая для каждого [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] опорную функцию множества [math]\displaystyle{ F(x) \in \Omega(\mathbb{R}^m), }[/math] мы получим вещественнозначную функцию [math]\displaystyle{ c(F(x),\psi) }[/math] от двух аргументов: [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi \in (\mathbb{R}^n)^* }[/math], где звёздочка означает сопряжённое пространство.
Многозначное отображение [math]\displaystyle{ F }[/math] непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция [math]\displaystyle{ c(F(x),\psi) }[/math] непрерывна по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] для каждого фиксированного [math]\displaystyle{ \psi }[/math].
Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция [math]\displaystyle{ c(F(x),\psi) }[/math] измерима по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] для каждого фиксированного [math]\displaystyle{ \psi }[/math].
Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения [math]\displaystyle{ F: \mathbb{R}^n \to \Omega(\mathbb{R}^m) }[/math] называется такая функция [math]\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, }[/math] что [math]\displaystyle{ f(x)\in F(x) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n. }[/math]
Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
Многозначное отображение [math]\displaystyle{ F: X \to \Omega(Y) }[/math] называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math], если для любой окрестности множества [math]\displaystyle{ F(x_0) \in \Omega(Y) }[/math] (обозначим её [math]\displaystyle{ V(F(x_0)) }[/math]) существует такая окрестность точки [math]\displaystyle{ x_0 \in X }[/math] (обозначим её [math]\displaystyle{ U(x_0) }[/math]), что [math]\displaystyle{ F(x) \subset V(F(x_0)) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x \in U(x_0). }[/math] Многозначное отображение [math]\displaystyle{ F: X \to \Omega(Y) }[/math] называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке [math]\displaystyle{ x\in X. }[/math] Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
Теорема Какутани: Пусть [math]\displaystyle{ X \subset \mathbb{R}^n }[/math] — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение [math]\displaystyle{ F: X \to \Omega(X) }[/math] имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет неподвижную точку [math]\displaystyle{ x_* \in X, }[/math] то есть [math]\displaystyle{ x_* \in F(x_*). }[/math] Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

Литература

Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.