Кусочно-заданная функция

График функции модуля вещественной переменной — пример кусочно-заданной (кусочно-линейной) функции

Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.

Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая , что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так , что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная .

Формальное определение и задание

Пусть заданы [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_n }[/math] — точки смены задания функции.

Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов [math]\displaystyle{ (-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty) }[/math] отдельно. Формально записывают это в виде:

[math]\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} f_0(x),\quad x\lt x_1\\ f_1(x),\quad x_1\lt x\lt x_2\\ \cdots\\ f_n(x),\quad x_n\lt x \end{cases} }[/math].

На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.

Виды кусочно-заданных функций

Запрос «кусочно-постоянная функция» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

• Если все функции — постоянные, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются линейными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-линейная функция.
• Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются непрерывными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются дифференцируемыми функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
• Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются монотонными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.

Примеры часто используемых кусочно-заданных функций

• Абсолютная величина (модуль) [math]\displaystyle{ y=|x| }[/math].
• Функция знака [math]\displaystyle{ y=\sgn(x) }[/math].
• Функция Хевисайда [math]\displaystyle{ \theta(x)=\begin{cases} 0, & x\lt 0; \\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases} }[/math]
• Кусочно-линейная функция.
• Сплайн.
• B-сплайн.