Круговая плоскость

Круговая плоскость (также плоскость Мёбиуса и инверсная плоскость) — плоскость описываемая системой аксиом идентичности, в которой основную роль играют точки и так называемые обобщённые окружности.

Примером круговой плоскости является евклидова плоскость дополненная одной идеальной точкой ([math]\displaystyle{ \infty }[/math]). Обобщёнными окружностями являются обычные окружности, а также обычные прямые, дополненные точкой [math]\displaystyle{ \infty }[/math], отношение инцидентности — отношение принадлежности.

Круговая плоскость: аксиомы (A1), (A2)

Определение

Круговая плоскость это структура инцидентности [math]\displaystyle{ \mathfrak M=(P,Z,\in) }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — множество точек, [math]\displaystyle{ Z }[/math] — множество обобщённых окружностей и [math]\displaystyle{ \in }[/math] — симметричное отношение инцидентности между [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math], удовлетворяющая следующим аксиомам:

A1: Для любых трех точек [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] существует ровно одна обобщёная окружность [math]\displaystyle{ z }[/math], которая инцидентна [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math].

A2: Для любой обобщёной окружности [math]\displaystyle{ z }[/math], любых точек [math]\displaystyle{ P\in z }[/math] и [math]\displaystyle{ Q \notin z }[/math] существует ровно одна обобщёная окружность [math]\displaystyle{ z' }[/math], такая, что: [math]\displaystyle{ P, Q \in z }[/math] и [math]\displaystyle{ z \cap z'= \{P \} }[/math] (то есть, [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ z' }[/math] касаются друг друга в точке [math]\displaystyle{ P }[/math]).

А3: Любая обобщёная окружность инцидентна по крайней мере трём точкам. Существует по меньшей мере четыре различные точки, не инцидентные одной окружности.

См. также

• Инверсия (геометрия)
• Сфера Римана

Ссылки

• E.F. Assmus Jr and J.D. Key, Designs and their codes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45839-0. с. 309—312.
• P. Dembowski, Finite geometries, Springer Verlag, 1968, repr.1996, ISBN 3540617868.
• D.R. Hughes and F.C. Piper, Design theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35872-8. с. 133—136.
• И. М. Виноградов. Мёбиуса плоскость // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии. В. В. Афанасьев.
• Möbius plane — статья из Encyclopaedia of Mathematics.