Симметричное отношение

В математике бинарное отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] выполнение отношения [math]\displaystyle{ a\,R\,b }[/math] влечёт выполнение отношения [math]\displaystyle{ b\,R\,a }[/math].

Формально, отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] симметрично, если [math]\displaystyle{ \forall a, b \in X,\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a }[/math].

Антисимметричность отношения не является антонимом симметричного отношения. Оба свойства для некоторых отношений выполняются одновременно, а для некоторых не выполняется ни одно. Можно считать антонимом асимметричное отношение, так как единственное бинарное отношение, одновременно симметричное и асимметричное — это пустое отношение.

Примеры

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также симметрично отношение связи вершин графа (неориентированного).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного), а также отношение следования вершин ориентированного графа. Однако, отношение сравнимости для частичного порядка является, по построению, симметричным (хотя, в отличие от самого́ порядка, не транзитивным).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали (совпадает с транспонированной). Если в графе симметричного отношения существует связь между двумя вершинами, то существует и обратная связь.