Коэффициенты Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса [math]\displaystyle{ J_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ J_2 }[/math], которые обладают квантовыми числами [math]\displaystyle{ j_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] ([math]\displaystyle{ z }[/math]-компонента) и [math]\displaystyle{ j_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math] принимают значения [math]\displaystyle{ m_1=[-j_1,\;\ldots,\;j_1] }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2=[-j_2,\;\ldots,\;j_2] }[/math] соответственно. Моменты импульса коммутируют [math]\displaystyle{ [J_1,\;J_2]=0 }[/math], что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): [math]\displaystyle{ \left|j_1,\;m_1\right\rangle }[/math] или [math]\displaystyle{ \left|j_2,\;m_2\right\rangle }[/math]. В базисе [math]\displaystyle{ \left|j_1,\;m_1\right\rangle }[/math] момент [math]\displaystyle{ J_1 }[/math] принимает простой диагональный вид, аналогично [math]\displaystyle{ J_2 }[/math] в базисе [math]\displaystyle{ \left|j_2,\;m_2\right\rangle }[/math].

При взаимодействии, оба момента импульса [math]\displaystyle{ J_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ J_2 }[/math] складываются в общий момент [math]\displaystyle{ \vec{J}=\vec{J_1}+\vec{J_2} }[/math], который обладает квантовыми числами [math]\displaystyle{ J }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math], принимающими следующие значения

[math]\displaystyle{ |j_1-j_2|\leqslant J\leqslant|j_1+j_2| }[/math] и [math]\displaystyle{ M=[-J,\;\ldots,\;J] }[/math] (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса [math]\displaystyle{ J_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ J_2 }[/math], то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

[math]\displaystyle{ \left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle=\left|j_1,\;m_1\right\rangle\otimes\left|j_2,\;m_2\right\rangle. }[/math]

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса [math]\displaystyle{ \vec{J} }[/math] и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Собственные векторы момента [math]\displaystyle{ \vec{J} }[/math] однозначно определяются квантовыми числами [math]\displaystyle{ J }[/math], [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ j_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ j_2 }[/math]. В базисе этих векторов суммарный момент [math]\displaystyle{ J }[/math] принимает простую диагональную форму. А именно

[math]\displaystyle{ \vec{J}\,^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=J(J+1)\hbar^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle; }[/math]

[math]\displaystyle{ J_z\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=M\hbar\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle. }[/math]

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов [math]\displaystyle{ \left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle }[/math] в базис собственных векторов [math]\displaystyle{ \left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle }[/math].

[math]\displaystyle{ \left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=\sum_{m_1,\;m_2}\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle }[/math] являются коэффициентами Клебша — Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий [math]\displaystyle{ |j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ M=m_1+m_2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2\;\wedge\;M=m_1+m_2. }[/math]

• Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:

[math]\displaystyle{ \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\in\R. }[/math]

• Коэффициент Клебша — Гордана при [math]\displaystyle{ M=J }[/math] задают положительным:

[math]\displaystyle{ \langle j_1,\;j_1;\;j_2,\;J-j_1\vert J,\;J,\;j_1,\;j_2\rangle\gt 0. }[/math]

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при [math]\displaystyle{ M=-M }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=(-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1,\;-m_1;\;j_2,\;-m_2\vert J,\;-M,\;j_1,\;j_2\rangle. }[/math]

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

[math]\displaystyle{ \sum_{m_1,\;m_2}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J',\;M',\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}. }[/math]

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

[math]\displaystyle{ \sum_{J,\;M}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m'_1;j_2,\;m'_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{m_1m'_1}\delta_{m_2m'_2}. }[/math]

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Собственное состояние с [math]\displaystyle{ J=j_1+j_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ M=J }[/math] непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

[math]\displaystyle{ |j_1+j_2,\;j_1+j_2,\;j_1,\;j_2\rangle=|j_1,\;j_1;\;j_2,\;j_{2}\rangle. }[/math]

Применением оператора уменьшения [math]\displaystyle{ J_-=J_{1\,-}+J_{2\,-} }[/math] можно получить состояния от [math]\displaystyle{ |j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle }[/math] до [math]\displaystyle{ |j_1+j_2,\;-j_1-j_2,\;j_1,j_2\rangle }[/math], или же все состояния с [math]\displaystyle{ J=j_1+j_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ M=-J,\;\ldots,\;J=-j_1-j_2,\;\ldots,\;j_1+j_2 }[/math].

Состояние [math]\displaystyle{ |j_1+j_2-1,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle }[/math] можно получить из условия ортогональности к состоянию [math]\displaystyle{ |j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle }[/math] и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при [math]\displaystyle{ M=J }[/math] является положительным.

Применением оператора уменьшения к [math]\displaystyle{ J=j_1+j_2-1 }[/math] можно опять получить все состояния с [math]\displaystyle{ M=-j_1-j_2+1,\;\ldots,\;j_1+j_2-1 }[/math]. Итеративно можно применять эту процедуру для всех [math]\displaystyle{ J }[/math] до [math]\displaystyle{ J=|j_1-j_2| }[/math].

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

[math]\displaystyle{ \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\sqrt{2j+1}\sqrt{\Delta_{j_1j_2j}}\sqrt{\dfrac{(j_1+m_1)!(j-m)!}{(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!(j+m)!}}\times }[/math]

[math]\displaystyle{ \times\sum_{s=\max(m_1+m_2,\;j_1-j_2)}^j\dfrac{(-1)^{j_1+m_2-s}(j+s)!(j_2+s-m_1)!}{(j-s)!(s-m_1-m_2)!(s-j_1+j_2)!(j_1+j_2+s+1)!}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \Delta_{j_1j_2j}=\frac{(j_1+j_2-j)!(j_2+j-j_1)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1-j_2+j)!}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ j_1-j_2 }[/math] — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям [math]\displaystyle{ s }[/math], а если [math]\displaystyle{ j_1-j_2 }[/math] — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям [math]\displaystyle{ s }[/math].

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

Рассмотрим группу [math]\displaystyle{ G }[/math] и её представление. Выберем базисные вектора [math]\displaystyle{ \psi_\mu^{(\alpha)} }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi_\nu^{(\beta)} }[/math] неприводимых представлений [math]\displaystyle{ D^{(\alpha)} }[/math] и [math]\displaystyle{ D^{(\beta)} }[/math] этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность [math]\displaystyle{ f_k }[/math] операторов [math]\displaystyle{ \{\hat F^{(k)}_\chi\}_1^{f_k} }[/math], если в результате преобразований [math]\displaystyle{ g }[/math], образующих группу [math]\displaystyle{ G }[/math], компоненты тензора [math]\displaystyle{ \hat F_\chi^{(k)} }[/math] преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям [math]\displaystyle{ D^{(k)} }[/math] этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

[math]\displaystyle{ \tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}. }[/math]

Векторы [math]\displaystyle{ |\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle }[/math], где [math]\displaystyle{ \chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta }[/math] образуют базис представления [math]\displaystyle{ D^{(k)}\times D^{(\beta)} }[/math]. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений [math]\displaystyle{ D^{(\gamma)} }[/math], на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы [math]\displaystyle{ G }[/math] [math]\displaystyle{ \langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle }[/math].

[math]\displaystyle{ |\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma. }[/math]

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений [math]\displaystyle{ \hat D^{(\gamma)} }[/math] в линейную комбинацию прямого произведения представлений [math]\displaystyle{ \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)} }[/math].

[math]\displaystyle{ \{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma=\sum_{\mu,\;\nu}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ V_\mu^{(\alpha)}, V_\nu^{(\beta)} }[/math] — базисные векторы представлений [math]\displaystyle{ \hat D^{(\alpha)},\;\hat D^{(\beta)} }[/math], а [math]\displaystyle{ \{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma }[/math] — базисные векторы представления [math]\displaystyle{ \hat D^{(\gamma)} }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}=\sum_\gamma^\oplus a^{(\gamma)}\hat D^{(\gamma)} }[/math].

• Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: [math]\displaystyle{ V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}=\sum_{\gamma\rho}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma }[/math].
• Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.

См. также

• 3j-символ
• Теорема Вигнера — Эккарта

Ссылки

Таблица с примерами для некоторых значений [math]\displaystyle{ j_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ j_2 }[/math] (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.