Кососимметричная матрица
(перенаправлено с «Кососимметрическая матрица»)
Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:
- [math]\displaystyle{ A^T = -A, }[/math]
где [math]\displaystyle{ A^T }[/math] — транспонированная матрица.
Для [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] это соотношение эквивалентно:
- [math]\displaystyle{ a_{i,j}={}-a_{j,i} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i,j=1,2,\ldots,n }[/math],
где [math]\displaystyle{ a_{i,j} }[/math] — элемент [math]\displaystyle{ i }[/math]-ой строки и [math]\displaystyle{ j }[/math]-го столбца матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
Свойства
- Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
- Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
- Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
- Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math] вида
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix} }[/math].
- Множество всех кососимметрических матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] образует алгебру Ли над [math]\displaystyle{ k }[/math] относительно сложения матриц и коммутирования:
- [math]\displaystyle{ [A,B] = A B - B A }[/math].