Комплексная дифференциальная форма

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Определения

Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n. Затем существует локальная система координат, состоящая из n комплекснозначных функций z ¹,...,z ⁿ, таких, что переходы координат от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм имеет богатую структуру, в основном зависящую от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкими.

Один-формы

Мы начнём с случая с 1-форм. Разложим комплексные координаты на их вещественную и мнимую части: z ^j =x ^j +iy ^j для каждого j. Положим

[math]\displaystyle{ dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j. }[/math]

Отсюда видно, что любая дифференциальная 1-форма с комплексными коэффициентами может быть однозначно записана в виде суммы

[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^n\left(f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j\right). }[/math]

Пусть Ω^1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только [math]\displaystyle{ dz }[/math]s, а Ω ^0,1 — пространство форм, содержащих только [math]\displaystyle{ d\bar{z} }[/math]. Условия Коши — Римана дают, что пространства Ω ^1,0 и Ω ^0,1 устойчивы при голоморфных изменениях координат. То есть, для других координат w _i, элементы Ω^1,0 преобразуются тензорно, как и элементы Ω ^0,1. Таким образом, пространства Ω ^0,1 и Ω ^1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.

Высшие степени

Внешнее произведение комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Пусть p и q — пара неотрицательных целых чисел ≤ n. Пространство Ω^p,q (p, q)-форм определяется путем взятия линейных комбинаций клиновых произведений p элементов из Ω ^1,0 и q элементов из Ω ^0,1. Как и в случае с 1-формами, они устойчивы при голоморфных изменениях координат и поэтому определяют векторные расслоения.

Если E ^k — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент E^k может быть выражен единственным способом в виде линейной комбинации элементов из числа пространств Ω ^{p, q} с p + q =k. То есть, существует прямое разложение суммы

[math]\displaystyle{ E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}. }[/math]

Поскольку это разложение прямой суммы устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q =k существует каноническая проекция векторных расслоений

[math]\displaystyle{ \pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}. }[/math]

Операторы Дольбо

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений [math]\displaystyle{ d: E^{r} \to E^{r+1} }[/math]. Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо:

[math]\displaystyle{ \partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1} }[/math]

Опишем эти операторы в локальных координатах. Пусть

[math]\displaystyle{ \alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q} }[/math]

где I и J - мультииндексы. Тогда

[math]\displaystyle{ \partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J. }[/math]

Заметим, что

[math]\displaystyle{ d=\partial+\bar{\partial} }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0. }[/math]

Эти операторы и их свойства используются при определении когомологий Дольбо и других аспектов теории Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого p голоморфная p-форма является голоморфным сечением расслоения Ω^p,0. Таким образом, в локальных координатах голоморфная p-форма может быть записана в виде

[math]\displaystyle{ \alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_I }[/math]являются голоморфными функциями. Эквивалентно и из-за независимости комплексного сопряженного, (p, 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ \bar{\partial}\alpha=0. }[/math]

Пучок голоморфных p-форм часто пишется Ω^p, хотя иногда это может привести к путанице, поэтому многие авторы склонны использовать другие обозначения.

См. также

• Абелев дифференциал

Литература

• Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982.