Клеточность

Кле́точность (число Су́слина) — топологическая характеристика топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], определяющаяся максимальным количеством открытых попарно непересекающихся множеств из [math]\displaystyle{ X }[/math]. Является кардинальным инвариантом и обозначается [math]\displaystyle{ c(X) }[/math].

Как и для многих общетопологических инвариантов, конечная клеточность не представляет интереса; считается, что она не менее, чем счётна (то есть [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]).

Наследственность

Не является наследственным инвариантом, то есть подпространство [math]\displaystyle{ U \subseteq X }[/math] может иметь клеточность большую, чем [math]\displaystyle{ c(X) }[/math]. Для примера достаточно точку [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в отрезке [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] размножить несчётное число раз, тогда подпространство из размноженных нулей будет иметь бо́льшую клеточность, чем отрезок, то есть больше [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \aleph_0 = c(X) \lt hc(X) = \mathfrak{c} }[/math]. Другой пример ненаследования клеточности — плоскость Немыцкого.

Связь с другими инвариантами

Клеточность пространства не превосходит его плотность (которая, в свою очередь, не превосходит веса): [math]\displaystyle{ c(X) \leqslant d(X) \leqslant w(X) }[/math]. Также клеточность не превосходит спреда (который также не превосходит веса): [math]\displaystyle{ c(X) \leqslant hc(X) \leqslant w(X) }[/math].

Для линейно упорядоченных пространств их характер не превосходит клеточности: [math]\displaystyle{ \chi(X) \leqslant c(X) }[/math]. Кроме того, для линейно упорядоченных пространств клеточность совпадает со спредом и наследственным числом Линделёфа: [math]\displaystyle{ c(X) = hc(X) = hl(X) }[/math].

Не превосходят клеточность топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] его число Линделёфа и экстент (в свою очередь, не превосходящий число Линделёфа): [math]\displaystyle{ e(X) \leqslant l(X) \leqslant c(X) }[/math].

Примеры

Для вещественной прямой [math]\displaystyle{ \R }[/math]: [math]\displaystyle{ c(\mathbb{R})=\aleph_0 }[/math]. Для натуральных и целых чисел: [math]\displaystyle{ c(\mathbb{Z})=c(\mathbb{N})=\aleph_0 }[/math].

Для дискретного пространства мощности [math]\displaystyle{ \tau }[/math]: [math]\displaystyle{ c(D_\tau)=\tau }[/math].

Для ежа колючести [math]\displaystyle{ \tau }[/math]: [math]\displaystyle{ c(J(\tau))=\tau }[/math]. (При [math]\displaystyle{ \tau \geqslant \aleph_0 }[/math] (достаточно взять по открытому множеству в каждой «иголке», не выходящему за «иголку»).

В целом для подпространства [math]\displaystyle{ U }[/math] из евклидова пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]: [math]\displaystyle{ c(U) \leqslant \aleph_0 }[/math].

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 103,333. — 752 с.