Число Линделёфа

Число Линделёфа - один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство. Определяется как наименьший кардинал [math]\displaystyle{ m }[/math], такой, что из каждого открытого покрытия пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] можно выбрать подпокрытие мощности не больше [math]\displaystyle{ m }[/math]. Обозначается как [math]\displaystyle{ l(X) }[/math]. Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] равно [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], то [math]\displaystyle{ X }[/math] называют линделёфовым пространством.

Свойства

1. Число Линделёфа пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] не выше сетевого веса [math]\displaystyle{ X }[/math] [math]\displaystyle{ (l(X)\leqslant nw(X)) }[/math]
2. Мощность хаусдорфова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] не больше, чем [math]\displaystyle{ 2^{l(X)*\chi (X)} }[/math], где [math]\displaystyle{ \chi (X) }[/math] — характер топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]

Примеры

1. [math]\displaystyle{ l(\R^n)=\aleph_0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ l(L) = 2^{\aleph_0} }[/math], где [math]\displaystyle{ L }[/math] - Плоскость Немыцкого
3. [math]\displaystyle{ l(J(m))=m }[/math], где [math]\displaystyle{ J(m) }[/math] - ёж колючести [math]\displaystyle{ m }[/math]
4. Число Линделёфа прямой Зоргенфрея счётно
5. Число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 290-293. — 752 с.