Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки [math]\displaystyle{ O }[/math], единичного полуинтервала [math]\displaystyle{ \mathbb{P}=(0,1] }[/math] и произвольного множества [math]\displaystyle{ S }[/math] заданной мощности [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math], называемой колючестью ежа, как:

[math]\displaystyle{ J(\mathfrak{m}) = \{O\}\cup(\mathbb{P}\times S) }[/math],

с введением метрики следующим образом:

1. [math]\displaystyle{ d(O,(x,s)) = x }[/math]
2. [math]\displaystyle{ d((x,s_1), (y,s_2)) = \begin{cases} |x - y|, & s_1 = s_2 \\ x + y, & s_1 \neq s_2 \end{cases} }[/math].

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, [math]\displaystyle{ J(0) }[/math] — просто точка [math]\displaystyle{ O }[/math], [math]\displaystyle{ J(1) = J(2) }[/math] — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества [math]\displaystyle{ S }[/math] с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] (при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}\ge \aleph_0 }[/math]) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]. То есть любое метризуемое пространство веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math].

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \ge \aleph_0 }[/math], не сильно паракомпактен при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \gt \aleph_0 }[/math].

Не является локально сепарабельным при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \gt \aleph_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ J(\mathfrak{m}) }[/math] вкладывается в [math]\displaystyle{ J(\mathfrak{n}) }[/math] при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \le \mathfrak{n} }[/math].

[math]\displaystyle{ J(\mathfrak{m}) }[/math] вкладывается в плоскость [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] только при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}\lt \aleph_0 }[/math] .

Если [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа [math]\displaystyle{ J(\mathfrak{m}) }[/math] равны [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]. Иначе (при [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \ge \aleph_0 }[/math]) характер равен [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math].

Квадрат триода [math]\displaystyle{ J(3) }[/math] не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].

На плоскости ([math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]) нельзя расположить несчётное количество триодов [math]\displaystyle{ J(3) }[/math] так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи [math]\displaystyle{ J(1) }[/math] и [math]\displaystyle{ J(2) }[/math]).

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.