Кинематика сплошной среды
Кинематика сплошной среды (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.
Модель сплошной среды
Модель оперирует понятием элементарного объема [math]\displaystyle{ dV }[/math], который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера [math]\displaystyle{ dV }[/math]. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.
Лагранжев и эйлеров подходы для описания сплошной среды
Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные [math]\displaystyle{ (\xi_1,\xi_2,\xi_3) }[/math]. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени [math]\displaystyle{ \tau }[/math]. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.
Координаты точек среды [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3) }[/math] в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3) }[/math] материальной частицы [math]\displaystyle{ (\xi_1,\xi_2,\xi_3) }[/math] в любой момент времени, то есть нахождении функций [math]\displaystyle{ x_i=f(t,\xi_j|_{j=1,2,3})\Big|_{i=1,2,3} }[/math] или же функций [math]\displaystyle{ \xi_i=g(t,x_j|_{j=1,2,3})\Big|_{i=1,2,3} }[/math], сопоставляющих каждой частице её положение во времени.
Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат [math]\displaystyle{ \rho(t,\xi_1,\xi_2,\xi_3) }[/math] (лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат [math]\displaystyle{ \rho(t,x_1,x_2,x_3)=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta M(\cdot)}{\Delta V} }[/math] (эйлеров подход).
Для любой функции в эйлеровых переменных [math]\displaystyle{ f(t,x_1,x_2,x_3) }[/math] выполняется
- [math]\displaystyle{ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + v_3 \frac{\partial f}{\partial x_3} }[/math].
Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения
Линией тока в момент времени [math]\displaystyle{ \tau }[/math] называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды [math]\displaystyle{ \vec v(t,x_1,x_2,x_3) }[/math] в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений
- [math]\displaystyle{ \frac{dx_1}{v_1(\tau,x_i)}=\frac{dx_2}{v_2(\tau,x_i)}=\frac{dx_3}{v_3(\tau,x_i)}\Bigg|_{i=1,2,3} }[/math].
Формула Коши-Гельмгольца
Формула Коши-Гельмгольца связывает скорость частиц среды в точке [math]\displaystyle{ A }[/math], находящейся в малой окрестности некоторой точки [math]\displaystyle{ O(x_1,x_2,x_3) }[/math], если известна скорость частиц в точке [math]\displaystyle{ O }[/math].
- [math]\displaystyle{ \vec v_A = \vec v_O + \hat E\, \vec r + \frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r }[/math]
где [math]\displaystyle{ \hat E = (e_{ij}) }[/math] — тензор скоростей деформаций, а [math]\displaystyle{ \hat \varepsilon = (e_{ij}\,dt) }[/math] — тензор малых деформаций, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\nabla\times\vec v=\vec\omega }[/math] — вектор вихря.
Точка [math]\displaystyle{ A }[/math] представима как
- [math]\displaystyle{ A(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,x_3+\Delta x_3) }[/math].
- [math]\displaystyle{ v_i(t,\vec x_O+\Delta\vec x)-v_i(t,\vec x_O)=\frac{\partial v_i}{\partial x_1}\Delta x_1+\frac{\partial v_i}{\partial x_2}\Delta x_2+\frac{\partial v_i}{\partial x_3}\Delta x_3\Bigg|_{i=1,2,3} }[/math], или через оператор набла: [math]\displaystyle{ \Delta v_i(t,\vec x_O)=\vec r\cdot\nabla v_i\Big|_{i=1,2,3} }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\vec r = \overrightarrow{OA}\right) }[/math].
Перемещение точки [math]\displaystyle{ A }[/math] относительно [math]\displaystyle{ O }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ d\vec r = (\vec v_A - \vec v_O)dt }[/math], из показанного выше [math]\displaystyle{ d\vec r = (\vec r\nabla)\vec v\,dt }[/math] или покоординатно
- [math]\displaystyle{ dr_i=\sum_{j=1,2,3}\left(\frac{\partial v_i}{\partial r_j}\cdot r_j\right)dt\Bigg|_{i=1,2,3} }[/math].
Можно переписать
- [math]\displaystyle{ dr_i = \sum_j (e_{ij}r_j + f_{ij}r_j)dt }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ e_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial r_j}+\frac{\partial v_j}{\partial r_i}\right) }[/math], а [math]\displaystyle{ f_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{r_j}-\frac{\partial v_j}{\partial r_i}\right) }[/math].
После преобразования
- [math]\displaystyle{ \sum_j f_{ij}r_j = \left[\frac{1}{2}(\nabla\times\vec v)\times \vec r\right]_i\Bigg|_{i=1,2,3} }[/math]
Получается формула Коши-Гельмгольца:
- [math]\displaystyle{ d\vec r = \hat E\, \vec r\,dt + \left(\frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r\right)dt }[/math]
Таким образом, [math]\displaystyle{ d\vec r_A = d\vec r_O + \hat E\, \vec r\,dt + \left(\frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r\right)dt }[/math], или для скоростей: [math]\displaystyle{ \vec v_A = \vec v_O + \hat E\, \vec r + \frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r }[/math].
Чистая деформация
Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения [math]\displaystyle{ (\nabla\times \vec v = 0) }[/math]. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:
- [math]\displaystyle{ \hat\varepsilon=\begin{pmatrix} \varepsilon_1 & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_2 & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_3 \end{pmatrix} }[/math]
По формуле Коши-Гельмгольца [math]\displaystyle{ d\vec r = \varepsilon_1 r_1\vec e_1 + \varepsilon_2 r_2\vec e_2 + \varepsilon_3 r_3\vec e_3 }[/math].
В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент [math]\displaystyle{ t }[/math] на сфере радиуса [math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2 = a^2\right) }[/math] перейдут за [math]\displaystyle{ dt }[/math] в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.
Длины главных осей эллипсоида описываются [math]\displaystyle{ e_1,e_2,e_3 }[/math] — корнями [math]\displaystyle{ a^2=\frac{R^2}{1-2e_1\,dt},\;b^2=\frac{R^2}{1-2e_2\,dt},\;c^2=\frac{R^2}{1-2e_3\,dt} }[/math].
Однородная деформация
В том случае, когда [math]\displaystyle{ \hat E,\;\vec\omega }[/math], определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.
При однородной деформации:
- Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
- Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
- Если [math]\displaystyle{ \hat E }[/math] в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и [math]\displaystyle{ \vec\omega }[/math] одинаков во всех точках среды.
Условие совместности
В силу определения [math]\displaystyle{ e_{ij}=e_{ji} }[/math], эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости [math]\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3) }[/math]. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 e_{ij}}{\partial x_k\partial x_l}= \frac{\partial^2 e_{kl}}{\partial x_i\partial x_j}= \frac{\partial^2 e_{kj}}{\partial x_i\partial x_l}= \frac{\partial^2 e_{il}}{\partial x_k\partial x_j} \Bigg|_{i,j,k,l=1,2,3} }[/math]
Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.
Литература
- Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
- Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2