Закон контрапозиции

См. также: Modus tollens

Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»). Суть его заключается в простом умозаключении: если из истинности некоторого утверждения следует истинность другого, то в случае ложности второго утверждения первое никак не может быть истинным, поскольку иначе было бы истинным и второе.

В математической логике

В виде формулы исчисления высказываний закон контрапозиции имеет несколько видов:

• [math]\displaystyle{ ( A \to B ) \leftrightarrow ( \neg B \to \neg A ) }[/math] — полный закон контрапозиции;
• [math]\displaystyle{ ( A \to B ) \to ( \neg B \to \neg A ) }[/math] — прямой закон контрапозиции;
• [math]\displaystyle{ (\neg B\to\neg A)\to(A\to B) }[/math] — обратный закон контрапозиции.

[math]\displaystyle{ A,B }[/math] здесь произвольные формулы. Все 3 формулы являются тавтологиями в классической логике высказываний.

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода. Соответствующее правило вывода имеет название modus tollens.

В интуиционистском исчислении высказываний прямой закон контрапозиции доказуем, а обратный нет. Добавление обратного закона контрапозиции к интуиционистскому исчислению высказываний превращает его в классическое.

Литература

• Чёрч, А. Введение в математическую логику = Introduction to Mathematical Logic (рус.) / пер. с англ. В. С. Чернявского, под ред. В. А. Успенского. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — Т. 1. — 485 с.
• Верещагин, Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — МЦНМО, 2002.
• Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, Физматлит, 1987.
• Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Клини С.К. Математическая логика. — М.:Мир, 1973.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М. Наука, 1971.
• Новиков П.С. Элементы математической логики. — М.:Наука, 1973.

См. также

• Дедуктивное умозаключение
• Исчисление высказываний