Гипотеза Эрдёша — Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math] и любой [math]\displaystyle{ r }[/math]-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] этих целых чисел, такое что:

[math]\displaystyle{ \sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1 }[/math],

и максимальный элемент множества [math]\displaystyle{ S }[/math] можно ограничить значением [math]\displaystyle{ b^r }[/math] с некоторой константой [math]\displaystyle{ b }[/math], независимой от [math]\displaystyle{ r }[/math]. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы [math]\displaystyle{ b }[/math] было не меньше числа [math]\displaystyle{ e }[/math].

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка [math]\displaystyle{ b }[/math] очень велика — число должно быть не больше [math]\displaystyle{ e^{167000} }[/math]. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств [math]\displaystyle{ C }[/math] гладких чисел в интервалах вида [math]\displaystyle{ [X, X^{1+\delta}] }[/math], где [math]\displaystyle{ C }[/math] содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум [math]\displaystyle{ 6r }[/math]. Таким образом, если целые числа [math]\displaystyle{ r }[/math]-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество [math]\displaystyle{ C }[/math], удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Ссылки

• Croot, Ernest S., III. Unit Fractions. — University of Georgia, Athens, 2000.
• Croot, Ernest S., III. On a coloring conjecture about unit fractions // Annals of Mathematics. — 2003. — Т. 157, вып. 2. — С. 545—556. — doi:10.4007/annals.2003.157.545. — arXiv:math.NT/0311421.
• Пал Эрдёш, Рональд Л. Грэм. Old and new problems and results in combinatorial number theory // L’Enseignement Mathématique. — 1980. — Т. 28. — С. 30—44.
• Ernie Croot’s Webpage Архивная копия от 9 апреля 2009 на Wayback Machine