Универсальное множество

[math]\displaystyle{ \mathbb{U}~~~=~~~\varnothing^\complement }[/math]

[math]\displaystyle{ A^\complement~~~=~~~\mathbb{U} \setminus A }[/math]

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math] (от англ. universe, universal set), реже [math]\displaystyle{ \mathbb{E} }[/math].

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations^[англ.] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел^[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества^[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением [math]\displaystyle{ \mathbb{U} \in \mathbb{U} }[/math]) верны и для второго значения, если через [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math] обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math].

Свойства универсального множества

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
[math]\displaystyle{ \forall a \colon a \in \mathbb{U} }[/math]
В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \in \mathbb{U} }[/math]
Любое множество является подмножеством универсального множества.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon A \subseteq \mathbb{U} }[/math]
В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \subseteq \mathbb{U} }[/math]
Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon \mathbb{U} \cup A = \mathbb{U} }[/math]
В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U} }[/math]
Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.
[math]\displaystyle{ A \cup A^\complement = \mathbb{U} }[/math]
Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon \mathbb{U} \cap A = A }[/math]
В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \cap \mathbb{U} = \mathbb{U} }[/math]
Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon A \setminus \mathbb{U} = \varnothing }[/math]
В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \setminus \mathbb{U} = \varnothing }[/math]
Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon \mathbb{U} \setminus A = A^\complement }[/math]
Дополнение универсального множества есть пустое множество.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U}^\complement = \varnothing }[/math]
Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
[math]\displaystyle{ \forall A \colon \mathbb{U} \triangle A = A^\complement }[/math]
В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \triangle \mathbb{U} = \varnothing }[/math]

Виды

Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G ^[2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой [math]\displaystyle{ g \in P_2(n) }[/math] существует набор функций [math]\displaystyle{ g_1, \ldots, g_p \in G }[/math] такой, что:

[math]\displaystyle{ g = g_1 \lor \ldots \lor g_p }[/math]

См. также

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Столл, 1968, с. 25.
↑ С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

Литература

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.

[_ddbd703159b37c1c-1] 1,0 ^1,1 Столл, 1968, с. 25.

[2] С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

[1]

[2]