Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

В математике, дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова является одним из основных обобщений производной в дробном исчислении, которое позволяет брать производные нецелое число раз. Он был введён Антоном Карлом Грюнвальдом в 1867 году и А. В. Летниковым в 1868 году.

Построение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова

Формулу для производной

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} }[/math]

можно применить рекурсивно для получения производных высших порядков. Например, для производной второго порядка получаем:

[math]\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lim_{h_1\to0}\frac{\lim\limits_{h_2\to0}\dfrac{f(x+h_1+h_2)-f(x+h_1)}{h_2}-\lim\limits_{h_2\to0}\dfrac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2}}{h_1}. }[/math]

Предполагая, что все приращения [math]\displaystyle{ h }[/math] стремятся к нулю одинаково, данное выражение можно упростить:

[math]\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}, }[/math]

которое может быть строго обосновано посредством формулы конечных приращений. В общем случае, имеем (смотри биномиальные коэффициенты):

[math]\displaystyle{ d^n f(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h^n}\sum_{m=0}^n(-1)^m{n\choose m}f(x+(n-m)h). }[/math]

Формально, снимая ограничение, что [math]\displaystyle{ n }[/math] — положительное число, естественно определить:

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q f(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h^q}\sum_{0\leqslant m\lt \infty}(-1)^m {q\choose m}f(x+(q-m)h). }[/math]

Это и есть определение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова.

Другая запись

Определение также можно переписать проще, если ввести обозначение:

[math]\displaystyle{ \Delta^q_h f(x)=\sum_{0\leqslant m\lt \infty}(-1)^m{q\choose m}f(x+(q-m)h). }[/math]

Тогда определение примет вид:

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta^q_h f(x)}{h^q}. }[/math]

Ссылки

• Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus — Publisher: Academic Press, 1974. — 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0.