Дробная производная

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], заданной на отрезке [math]\displaystyle{ [a,\, b] }[/math], каждое из выражений

[math]\displaystyle{ D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad \,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha}, }[/math]

называется дробной производной порядка [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ 0 \lt \alpha \lt 1 }[/math], соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка [math]\displaystyle{ p }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] — вещественное положительное число) определяется через интеграл Коши: [math]\displaystyle{ D_C^pf(t)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du }[/math], где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру [math]\displaystyle{ C }[/math] на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

[math]\displaystyle{ F[D^k\psi(x)](\omega) = (-i\omega)^k (F\psi)(\omega) \quad (k \in \N). }[/math]

Определение через общую формулу n-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] есть моном вида

[math]\displaystyle{ f(x) = x^k\,. }[/math]

Первая производная, как и обычно

[math]\displaystyle{ f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\,. }[/math]

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

[math]\displaystyle{ {d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\,, }[/math]

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

[math]\displaystyle{ {d^n \over dx^n } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - n + 1) } x^{k-n}\,. }[/math]

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

[math]\displaystyle{ { d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}\,. }[/math]

Повторяя процедуру, будем иметь

[math]\displaystyle{ { d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\,, }[/math]

что представляет собой ожидаемый результат

[math]\displaystyle{ \left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,. }[/math]

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

[math]\displaystyle{ {\left( {d\over dx} \right)}^a {\left( {d\over dx} \right)}^b = {\left( {d\over dx} \right)}^{a+b} }[/math]

на всех [math]\displaystyle{ x^k }[/math], таких что [math]\displaystyle{ k-a }[/math], [math]\displaystyle{ k-b }[/math] и [math]\displaystyle{ k-a-b }[/math] не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

[math]\displaystyle{ f(x) = \sin (ax+b)\,. }[/math]

Поскольку для любых a и b

[math]\displaystyle{ {d^n \over dx^n } \sin (ax+b) = a^n \sin \left(ax+b+{\pi n \over 2} \right)\,, }[/math]

то, полагая [math]\displaystyle{ n=1/2 }[/math],

[math]\displaystyle{ {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) = \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4} \right)\,. }[/math]

Действительно,

[math]\displaystyle{ {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \left( {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) \right) = \sqrt{a} \; \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4} \right) = a \, \cos (ax+b) = f'(x)\,. }[/math]

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при [math]\displaystyle{ n=-1 }[/math] формула n-й производной даёт одну из первообразных функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

• Линейность

[math]\displaystyle{ D^{q}_t(f(t)+g(t))= D^{q}_t(f(t))+ D^{q}_t(g(t)) }[/math]

[math]\displaystyle{ D^{q}(ax)=a D^{q}(x) }[/math]

• Правило нуля

[math]\displaystyle{ D^{0}x=x }[/math]

• Дробная производная произведения

[math]\displaystyle{ D^q_t(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j} D^j_t(f(t)) D^{q-j}_t(g(t)) }[/math]

• Полугрупповое свойство

[math]\displaystyle{ D^a D^{b} f(t) = D^{a+b} f(t) }[/math]

в общем случае не выполняется .

См. также

• Дифферинтеграл
• Дробная динамика
• Наследственная механика

Литература

• Риман Б. Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования. — Москва, Ленинград: ГИТТЛ, 1948. — 544 с.
• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5−9221−0440−3 экз. Архивная копия от 20 июля 2013 на Wayback Machine
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5. (недоступная ссылка)
• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2010. — 568 с.
• В. В. Васильев, Л. А. Симак. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. — Киев: НАН Украины, 2008. — P. 256. — ISBN 978-966-02-4384-2.
• F. Mainardi,. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. — Imperial College Press, 2010. — 368 с. Архивная копия от 19 мая 2012 на Wayback Machine
• V. E. Tarasov. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Mediaю. — 2010. — 450 с.
• V. V. Uchaikin. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. — Higher Education Press, 2012. — 385 с.
• R. Herrmann. Fractional Calculus. An Introduction for Physicists. — Singapore: World Scientific, 2014. — ISBN 978-981-4551-09-0.
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier. — Амстердам, 2006.
• S. G. Samko, A. A. Kilbas, O.I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. — Нью-Йорк: Gordon and Breach, 1993.
• K. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — Нью-Йорк: Wiley, 1993.
• I. Podlubny. Fractional Differential Equations. — Сан Диего: Academic Press, 1999.
• B. Ross. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus. — Notes Math, 1975.

Ссылки

• журнал: «Fractional Calculus & Applied Analysis», (с 1998 по 2014) и Fractional Calculus and Applied Analysis (с 2015)
• журнал: Fractional Differential Equations (FDE)
• журнал Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• журнал: Progress in Fractional Differentiation and Applications
• журнал: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Applications of Fractional Calculus (англ.)
• Fractional Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral, a definition of fractional derivatives, and a list of applications of the calculus. (англ.)
• Fractional Calculus (англ.)
• Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculus (англ.)
• Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
• Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Минск, 1987 (недоступная ссылка)