Геодезический поток
Геодезическим потоком на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении [math]\displaystyle{ TM }[/math], траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор [math]\displaystyle{ v }[/math] за время [math]\displaystyle{ t }[/math] сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время [math]\displaystyle{ t }[/math], оставаясь касательным к этой геодезической.
В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении [math]\displaystyle{ TM }[/math], а не на самом многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math].
Часто рассматривают геодезический поток на пространстве [math]\displaystyle{ T_1 M }[/math] единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).
Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.
Примеры
- Как и было сказано выше, для [math]\displaystyle{ {\mathbb{R}}^n }[/math] со стандартной евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:
- [math]\displaystyle{ \Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}). }[/math]
- Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
- Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода [math]\displaystyle{ g\gt 1 }[/math], снабжённой метрикой Пуанкаре.
См. также
Литература
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.