Бимодуль

Бимодуль — это абелева группа, являющаяся одновременно правым модулем и левым модулем (возможно, над другим кольцом), причём эти две структуры согласованы. Понятие бимодуля играет проясняющую роль: взаимосвязи между левыми и правыми модулями становятся более простыми, будучи выражены в терминах бимодулей.

Определение

Пусть R и S — два кольца, тогда (R, S)-бимодуль — это абелева группа M, такая что

M является левым R-модулем и правым S-модулем.
Для любых [math]\displaystyle{ r\in R, s\in S, m\in M: }[/math]

[math]\displaystyle{ (rm)s=r(ms). }[/math]

(R, R)-бимодуль называют также R-бимодулем.

Примеры

Для любых натуральных чисел m и n множество всех матриц размера n × m с действительными элементами является (R, S)-бимодулем, где R — кольцо матриц размера n × n и S — кольцо матриц размера m × m. Сложение и умножение определяются как сложение и умножение матриц, размеры матриц выбраны таким образом, чтобы эти операции были определены.
Если R — кольцо, не обязательно коммутативное, то R является R-бимодулем. Также им является Rⁿ — прямое произведение n копий R.
Любой двусторонний идеал в кольце R является R-бимодулем.
Любой модуль над коммутативным кольцом R можно наделить естественной структурой бимодуля, определив умножение справа так же, как умножение слева. (Не все бимодули над коммутативным кольцом имеют такой вид).
Если M — левый R-модуль, то M является (R, Z)-бимодулем, где Z — кольцо целых чисел. Аналогичным образом, правые R-модули можно рассматривать как (Z, R)-бимодули, а абелевы группы — как (Z, Z)-бимодули.
Если R — подкольцо кольца S, то S является R-бимодулем.

Дальнейшие определения и свойства

Если M и N — (R, S)-бимодули, отображение f : M → N является гомоморфизмом бимодулей тогда и только тогда, когда оно является гомоморфизмом структур левого и правого модулей.

([math]\displaystyle{ R }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math])-бимодуль, на самом деле, то же самое, что левый модуль над кольцом [math]\displaystyle{ R \otimes_\mathbb{Z} S^{op} }[/math], где S^op — противоположное кольцо к S (порядок умножения в нём обращается). Гомоморфизмы бимодулей — то же самое, что гомоморфизмы левых [math]\displaystyle{ R \otimes_\mathbb{Z} S^{op} }[/math]-модулей. Используя эти факты, многие утверждения о модулях можно перевести на язык бимодулей. В частности, категория (R, S)-бимодулей является абелевой и для неё верны обычные теоремы об изоморфизме.

Однако у бимодулей есть и особенные свойства, в частности, в том, что касается тензорного произведения. Если M — (R, S)-бимодуль и N — (S, T)-бимодуль, то их тензорное произведение (как модулей над S) является (R, T)-бимодулем. Тензорное произведение бимодулей ассоциативно (с точностью до канонического изоморфизма), поэтому можно построить категорию, объекты которой — кольца, а морфизмы — бимодули. Более того, если M является (R, S)-бимодулем и L является (T, S)-бимодулем, то множество Hom_S(M,L) гомоморфизмов из M в L имеет структуру (T, R)-бимодуля. Эти утверждения можно распространить на производные функторы Ext и Tor.

Заметим также, что бимодули не связаны с биалгебрами, сходство в названии случайно.

Литература

Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. P. 133—136.
P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. P. 517—518.