Ассоциированное семейство

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении [math]\displaystyle{ \theta }[/math].

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление

[math]\displaystyle{ x_k(\zeta) = \Re \left\{ \int_{0}^{\zeta} \varphi_{k}(z) \, dz \right\} + c_k , \qquad k=1,2,3 }[/math]

семейство описывается формулой

[math]\displaystyle{ x_k(\zeta,\theta) = \Re \left\{ e^{i \theta} \int_0^\zeta \varphi_{k}(z) \, dz \right\} + c_k , \qquad \theta \in [0,2\pi] }[/math]

При [math]\displaystyle{ \theta=\pi/2 }[/math] поверхность называется сопряжённой поверхности [math]\displaystyle{ \theta=0 }[/math].

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] остаются неизменными при изменении [math]\displaystyle{ \theta }[/math]. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении [math]\displaystyle{ \theta }[/math].

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником.

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий.