Аксиома пары

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2) }[/math]

А именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество [math]\displaystyle{ c }[/math], каждый элемент [math]\displaystyle{ b }[/math] которого идентичен данному множеству [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] или данному множеству [math]\displaystyle{ a_2 }[/math].»

Другие формулировки аксиомы пары

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2\} \ ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \notin c \ \leftrightarrow \ b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (a_1 \in c \ \land \ a_2 \in c \quad \land \quad \forall b \ (b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2 \to b \notin c) \ ) }[/math]

Примечания

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

• [math]\displaystyle{ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ )) }[/math], если положить [math]\displaystyle{ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) }[/math] и выбрать функцию [math]\displaystyle{ \mathrm{f} }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2) }[/math].

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exists ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) }[/math], что есть [math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall c' \ (\forall b \ (b \in c' \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ \leftrightarrow c = c') }[/math]

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество [math]\displaystyle{ c }[/math], каждый элемент [math]\displaystyle{ b }[/math] которого идентичен данному множеству [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] или данному множеству [math]\displaystyle{ a_2 }[/math].»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

[math]\displaystyle{ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a) }[/math]

См. также

• Аксиоматика теории множеств