Схема преобразования

Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:

• [math]\displaystyle{ \forall x \exist^{\{1\}} y \ (\phi[x,y]) \to \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ ) }[/math], где [math]\displaystyle{ \forall x \exists^{\{1\}}y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist y \forall y' (\phi[x,y] \leftrightarrow y = y') }[/math]

Схему преобразования можно сформулировать по-русски, а именно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество [math]\displaystyle{ d }[/math], высказав функциональное суждение [math]\displaystyle{ \phi }[/math] обо всех элементах [math]\displaystyle{ b }[/math] данного множества [math]\displaystyle{ a }[/math]."

Пример

В следующем примере функциональное суждение [math]\displaystyle{ y = x }[/math] преобразует каждое множество [math]\displaystyle{ a }[/math] в самого себя.

[math]\displaystyle{ \phi[x,y] \leftrightarrow y = x \quad \Rightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a) }[/math]

Другие формулировки схемы преобразования

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• [math]\displaystyle{ \forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exist^{\{1\}}y \ (\phi[b,y]) \ ) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )) }[/math]

Примеры

1. В следующем примере функциональное суждение [math]\displaystyle{ y = 2b' }[/math] преобразует множество натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] в множество чётных чисел [math]\displaystyle{ \{0,2,4,...\} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align} a = \mathbb{N} \ \land \ (\phi[b',y] \leftrightarrow y = 2b') \quad \Rightarrow \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \ \land \ c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,...\}) \end{align} }[/math]

2. В следующем примере функциональное суждение [math]\displaystyle{ (b' = 0 \to y = a_1) \ \land \ (b' \ne 0 \to y = a_2) }[/math] преобразует множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] в [неупорядоченную] пару [math]\displaystyle{ \{a_1, \ a_2\} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align} a = \mathbb{R} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (b' = 0 \to y = a_1) \ \land \ (b' \ne 0 \to y = a_2)) \quad \Rightarrow \\ \ \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{R} \ \land \ (b = 0 \to c = a_1) \land (b \ne 0 \to c = a_2) \ )) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2) \end{align} }[/math]

3. В следующем примере функциональное суждение [math]\displaystyle{ (0 \le b' \le 1 \to y = b') \ \land \ (\neg (0 \le b' \le 1) \to y = 1) }[/math] преобразует множество целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] в подмножество натуральных чисел [math]\displaystyle{ \{n: \ n \in \mathbb{N} \ \land \ n \lt 2\} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align} a = \mathbb{Z} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (0 \le b' \le 1 \to y = b') \land (\neg(0 \le b' \le 1) \to y = 1)) \quad \Rightarrow \\ \ \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{Z} \land (0 \le b \le 1 \to c = b) \land (b \lt 0 \lor b \gt 1 \to c = 1))) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{n: \ n \in \mathbb{N} \ \land \ n \lt 2\} \ ) \end{align} }[/math]

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• [math]\displaystyle{ \forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exists^{\{0,1\}}y \ (\phi[b,y])) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\ )) }[/math], где [math]\displaystyle{ \exist^{\{0,1\}} y \ (\phi[b,y]) \Leftrightarrow \forall y \forall y' \ (\phi[b,y] \ \land \ \phi[b,y'] \to y = y') }[/math]

Фон Нейман доказал, что данная аксиома следует из аксиомы ограничения размера. Аксиома схемы преобразований может быть выражена как: если F является функцией, а A является множеством, то F(A) - это множество.

Примечания

1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:

• [math]\displaystyle{ \begin{align} \forall a_1 \forall a_2 \ (a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (b' = \varnothing \to y = a_1) \land (b' \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \\ \ \rightarrow \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c])) \ \rightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ )), \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) }[/math] - булеан булеана пустого множества.

2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:

• [math]\displaystyle{ \begin{align} \forall a \ (\ x \in \{b: b \in a \land \Phi[b]\} \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (\Phi[b'] \to y = b') \land (\neg \Phi[b'] \to y = x)\ ) \\ \ \to \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c])) \ \leftrightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \land \Phi[b])) \ ) \end{align} }[/math]

Историческая справка

Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.

Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.

См. также

• Аксиоматика теории множеств