Аксиома объёмности

Аксиома объёмности (аксиома экстенсиональности, англ. axiom of extensionality) в теории множеств утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. В формальной записи:

[math]\displaystyle{ \forall A_1 \forall A_2 \ (\forall b \ (b \in A_1 \leftrightarrow b \in A_2) \to A_1 = A_2) }[/math]

Если переписать это выражение в виде

[math]\displaystyle{ \forall A_1 \forall A_2 \ (\forall b \ (b \in A_1 \to b \in A_2) \ \land \ \forall b \ (b \in A_2 \to b \in A_1) \to A_1 = A_2) }[/math],

то аксиому можно сформулировать следующим образом:

«Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.»

Другие формулировки аксиомы объёмности

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ ) }[/math]

Примечания

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката [math]\displaystyle{ = }[/math], а именно:

[math]\displaystyle{ \forall a \ (a = a) }[/math],

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi[a_1] }[/math] — любое математически корректное суждение об [math]\displaystyle{ a_1 }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi[a_2] }[/math] — то же самое суждение, но об [math]\displaystyle{ a_2 }[/math].

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ ) }[/math]

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

[math]\displaystyle{ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v)) }[/math],

2) критерий равенства упорядоченных пар

[math]\displaystyle{ \forall x \forall y \forall u \forall v \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ ) }[/math],

3) критерий равенства неупорядоченных пар

[math]\displaystyle{ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ ) }[/math],

4) критерий равенства двух последовательностей

[math]\displaystyle{ \{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i) }[/math].

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой] либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

[math]\displaystyle{ \exist a \forall b \ (b \notin a) }[/math].

Требуется доказать существование не более, чем одного множества [math]\displaystyle{ a }[/math], для которого верно высказывание

[math]\displaystyle{ \forall b \ (b \notin a) }[/math].

Иначе говоря, требуется доказать

[math]\displaystyle{ \exist \{0,1\} a \ (\forall b \ (b \notin a)) }[/math]

Или, что то же самое, требуется доказать

[math]\displaystyle{ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2) }[/math]

Доказательство

[math]\displaystyle{ \begin{align} \forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \\ \ \Leftrightarrow \forall b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{align} }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a) }[/math], постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

[math]\displaystyle{ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) }[/math]

Требуется доказать существование не более, чем одного множества [math]\displaystyle{ d }[/math], для которого верно высказывание

[math]\displaystyle{ \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) }[/math]

Иначе говоря, требуется доказать

[math]\displaystyle{ \exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)) }[/math]

Или, что то же самое, требуется доказать

[math]\displaystyle{ \forall d_1 \forall d_2 \ (\forall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2) }[/math]

Доказательство

[math]\displaystyle{ \begin{align} \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) \\ \ \Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 \end{align} }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) }[/math], постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств