Ёмкость Минковского
Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.
Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.
Названа в честь Германа Минковского.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mu, d) }[/math] метрическое пространство с мерой, где [math]\displaystyle{ d }[/math] является метрикой на [math]\displaystyle{ X }[/math], а [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — это борелевская мера. Для подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] и вещественного ε > 0, обозначим через
- [math]\displaystyle{ A_\varepsilon = \{ x \in X \, | \, d(x, A) \lt \varepsilon \} }[/math]
его замкнутую [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности [math]\displaystyle{ k }[/math] определяется как нижний предел
- [math]\displaystyle{ M_*(A) = \liminf_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k}, }[/math]
и верхняя ёмкость Минковского коразмерности [math]\displaystyle{ k }[/math] как верхий предел
- [math]\displaystyle{ M^*(A) = \limsup_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k}. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ M^*(A)=M_*(A) }[/math], то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности [math]\displaystyle{ k }[/math] A по мере μ, и обозначается [math]\displaystyle{ M(A) }[/math].
Свойства
- Если [math]\displaystyle{ A }[/math] есть замкнутое [math]\displaystyle{ n }[/math]-спрямляемое множество в [math]\displaystyle{ \R^{n+k} }[/math], то ёмкость Минковского [math]\displaystyle{ A }[/math] по отношению к объёму на [math]\displaystyle{ \R^{n+k} }[/math] существует и совпадает с его [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.
См. также
Ссылки
- Федерер, Герберт, Геометрическая теория меры.