Температура Дебая

Температу́ра Деба́я — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих колебаний, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена в научный оборот в 1912 году П. Дебаем в его теории теплоёмкости (известной также как модель Дебая).

Температура Дебая определяется следующей формулой:

[math]\displaystyle{ \Theta_D = \frac {h \nu_D}{k_B}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ \nu_D }[/math] — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана.

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга — Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна [math]\displaystyle{ 3Nrk_B }[/math], где [math]\displaystyle{ N }[/math] — количество элементарных ячеек в теле, [math]\displaystyle{ r }[/math] — количество атомов в элементарной ячейке, [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана.

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количество атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

[math]\displaystyle{ C_V(T) = 3Nk_B f_D\left(\frac{\theta_D}{T}\right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \theta_D }[/math] — температура Дебая, а функция

[math]\displaystyle{ f_D(x) = \frac{3}{x^3} \int_0^x \frac{t^4 e^t}{(e^t-1)^2}\textrm{d}t }[/math]

называется функцией Дебая.

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

[math]\displaystyle{ C_V(T) = \frac{12 \pi^4}{5} Nk_B \left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3 . }[/math]

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если [math]\displaystyle{ q_D }[/math] — радиус такой сферы, то [math]\displaystyle{ \omega_D = q_D s }[/math], где [math]\displaystyle{ s }[/math] — скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения

[math]\displaystyle{ \hbar \omega_D = k_B\theta_D }[/math].

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведены в таблице:

Алюминий 394 K Кадмий 120 K Хром 460 K Медь 315 K Золото 170 K Железо 420 K Галлий 240 K

Серебро 215 K Таллий 96 K Олово (белое) 170 K Олово (серое) 260 K Вольфрам 310 K Цинк 234 K Алмаз 2230 K

Мышьяк 285 K Свинец 88 K Марганец 400 K Никель 375 K Платина 230 K Кобальт 385 K Гадолиний 152 K

Источники

• Температура Дебая — статья из Большой советской энциклопедии.