Комптоновская длина волны

Ко́мптоновская длина́ волны́ (λ_C) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом.

Вычисление

Из опыта Комптона следует:

[math]\displaystyle{ \lambda_C = \frac{h}{mc} }[/math];

Здесь: [math]\displaystyle{ mc }[/math] — величина 4-вектора энергии-импульса покоящейся частицы.

Для электрона, λe
C ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)⋅10⁻¹² м;^[1] для протона, λp
C ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)⋅10⁻¹⁵ м.^[1]

Длина волны [math]\displaystyle{ \lambda_C }[/math] для покоящейся частицы массы [math]\displaystyle{ m }[/math] определяет период вращения амплитуды вероятности.^[2], квадрат которой является вероятностью того, что частица переместится из одной точки 4-пространства-времени в другую. Для покоящейся частицы это перемещение происходит только во времени, но не в пространстве. Следовательно можно написать цепочку равенств:

[math]\displaystyle{ \lambda_C = cT_0 = c\cdot{\frac{2\pi}{\omega_0}} = \frac{h}{mc} }[/math];

Здесь: [math]\displaystyle{ \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} }[/math] — частота вращения амплитуды вероятности;
Из последних двух равенств вытекает:

[math]\displaystyle{ E_0 = mc^2 = \hbar{\omega_0} }[/math];

Где: [math]\displaystyle{ E_0 }[/math] — энергия покоящейся частицы;

[math]\displaystyle{ \hbar = \frac{h}{2\pi} }[/math];

Приведённая комптоновская длина волны

В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2π раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:

[math]\displaystyle{ \overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}. }[/math]

Для электрона, λe
C ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)⋅10⁻¹³ м;^[1] для протона, λp
C ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)⋅10⁻¹⁶ м.^[1]

В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:

пи-мезона: λπ
C ≈ 1,46⋅10⁻¹⁵ м (характерное расстояние ядерных взаимодействий);
W-бозона: λW
C ≈ 2,45⋅10⁻¹⁸ м (характерное расстояние слабых взаимодействий).

Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы

[math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi }[/math]

эта величина (в квадрате) выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:

[math]\displaystyle{ i \gamma^\mu \partial_\mu \psi = \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi . }[/math]

Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Z

[math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi }[/math]

можно разделить на [math]\displaystyle{ \hbar c }[/math] и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд e на постоянную тонкой структуры α:

[math]\displaystyle{ \frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m_e c} \right) \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi. }[/math]

В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.

В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: λ_C = 1/m.

Происхождение названия

Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина λe
C определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.

В квантовой теории поля

Частица, локализованная в области с линейными размерами не более λ_C, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее mc и неопределённость в энергии не менее mc², что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой m. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших λ_C, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра λ_C, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время ~λ/с, характерное для рассеяния света с длиной волны λ, при λ ≤ λ_C приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.

В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона N, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона π (заметим, что λπ
C ≈ 7λN
C). В области с линейным размером порядка λπ
C нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.

Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующими комптоновскими длинами волн, но и константами взаимодействия данной частицы с другими частицами (полями).

См. также

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Архивная копия от 8 декабря 2013 на Wayback Machine Fundamental Physical Constants — Complete Listing
↑ Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. Пер. с англ. — М,; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 . — С. 26 — 33, 81 — 82, 111—112. 144 стр. -Б — ка «Квант». Вып. 66.

[CODATA_allascii-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Архивная копия от 8 декабря 2013 на Wayback Machine Fundamental Physical Constants — Complete Listing

[2] Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. Пер. с англ. — М,; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 . — С. 26 — 33, 81 — 82, 111—112. 144 стр. -Б — ка «Квант». Вып. 66.

[1]

[2]