Zitterbewegung
Zitterbewegung (нем. Zitterbewegung — «дрожащее движение») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой [math]\displaystyle{ 2 m c^2 / \hbar }[/math], или приблизительно 1,6⋅1021 Гц.
Вывод выражения, описывающего Zitterbewegung
Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера
- [math]\displaystyle{ H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c }[/math]
Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:
- [math]\displaystyle{ -i \hbar \frac{\partial Q(t)}{\partial t} = \left[ H , Q \right] \,\!\;. }[/math]
В частности, для производной по времени от оператора координаты [math]\displaystyle{ x_k(t) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hbar \frac{\partial x_k(t)}{\partial t} = i\left[ H , x_k \right] = \alpha_k \,\!\;. }[/math]
Полученное уравнение показывает, что оператор [math]\displaystyle{ \alpha_k }[/math] можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.
Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением
- [math]\displaystyle{ \hbar \frac{\partial \alpha_k(t)}{\partial t} = i\left[ H , \alpha_k \right] = 2ip_k-2i\alpha_kH \,\!\;. }[/math]
Поскольку [math]\displaystyle{ p_k }[/math], и [math]\displaystyle{ H }[/math] не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по [math]\displaystyle{ t }[/math], получив следующую зависимость оператора координаты от времени:
- [math]\displaystyle{ x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} ( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} ) ( e^{-2 i H t / \hbar } - 1 ). }[/math]
В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».
Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.
Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.[1]
Опытное подтверждение
В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.[2][3]
Примечание
- ↑ В. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. М., Высшая школа, 1964. - с. 87-89
- ↑ R. Gerritsma et al. Quantum simulation of the Dirac equation // Nature. — 2010. — Т. 463. — С. 68-71. — doi:10.1038/nature08688.
- ↑ Physicists catch sight of trembling particle, physicsworld.com (10 января 2010). Архивировано 9 января 2010 года.
Ссылки
- E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)
- A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)