S-волна

S-волны представляют собой тип упругих волн. Название S-волны связано с английским «shear waves» — сдвиговые волны или волна сдвига (рисунок 1). Так как модуль сдвига в жидкостях и газах равен нулю, то S-волны могут проходить только через твёрдые тела. В случаях, когда упругость не проявляется (например, в несжимаемой жидкости), в них распространяются вязкие волны.

Основные свойства

Это поперечная волна, вектор её распространения перпендикулярен вектору поляризации. На рисунке 2 можно наблюдать поляризацию S-волны и видно, что из условия перпендикулярности вектору поляризации возникает два решения для волнового вектора для SH-волны и SV-волны, также там изображены и вектора распространения.

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SV, где А — амплитуда падающей волны: [math]\displaystyle{ u_{SV}=A\begin{pmatrix} \cos{j} \\ 0 \\ \sin{j} \end{pmatrix} exp\left(i\omega\left(\frac{\sin{j}}{v_s}x-\frac{\cos{j}}{v_s}z-t\right)\right) }[/math]

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SH, где А — амплитуда падающей волны: [math]\displaystyle{ u_{SH}=A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} exp\left(i\omega\left(\frac{\sin{j}}{v_s}x-\frac{\cos{j}}{v_s}z-t\right)\right) }[/math]

Скорость волн S в однородной изотропной среде выражается:

[math]\displaystyle{ v_s= \sqrt{ \frac {\mu} {\rho}}= \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\rho}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — модуль сдвига (модуль жёсткости, иногда обозначается как G и также называется параметром Ламе), [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность среды, через которую проходит волна. Из них видно, что скорость зависит от изменения μ, [math]\displaystyle{ E }[/math] — модуль Юнга, [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — коэффициент Пуассона. При расчётах должны использоваться адиабатические модули упругости.

Типичные значения для скоростей S-волн во время землетрясений находятся в диапазоне от 2,5 до 5 км/с. Скорость поперечной волны всегда меньше скорости продольной волны, что видно на сейсмограммах (рисунок 3). В отличие от Р-волны, S-волна не может проходить через расплавленное внешнее ядро Земли, и это приводит к существованию теневой зоны для S-волн. Но они ещё могут появиться в твёрдом внутреннем ядре, так как возникают при преломлении Р-волны на границе расплавленного и твёрдого ядра, что называется разрывом Леманн, возникающие S-волны затем распространяются в твёрдой среде. И затем S-волны преломляются по границе, и они снова в свою очередь создают P-волны. Это свойство позволяет сейсмологам определять свойства внутреннего ядра.

Преломление S-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем два непрерывных граничных условия

[math]\displaystyle{ \mathbf u(\mathbf r)|_{S_-}= \mathbf u(\mathbf r)|_{S_+}, }[/math] [math]\displaystyle{ \hat\sigma{\mathbf n}|_{S_-}= \hat\sigma{\mathbf n}|_{S_+}, }[/math]

где n — вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон [math]\displaystyle{ S_+ }[/math] и [math]\displaystyle{ S_- }[/math] на границе. Так же как и для Р-волны, для волны типа SV существует 4 типа волн, порождаемых падением волны SV на поверхность двух сред — это две преломлённые Р, SV волны и две отражённые Р, SV волны, но для падающей на границу двух сред SH волны этого не происходит, она не порождает волны другого типа поляризации, что и видно на рисунках 4, 5.

Преломление S-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остаётся только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

[math]\displaystyle{ \mathbf u(\mathbf r)|_{S}= 0. }[/math]

Тогда в случае SV-волны, где А — это амплитуда падающей волны, [math]\displaystyle{ v_s }[/math] — скорость поперечной волны в среде, [math]\displaystyle{ v_p }[/math] — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды SV, j — угол отражения моды SV от моды SV, получаем [math]\displaystyle{ k_{sp} = A \frac{2 v_p/v_s \sin 2i \cos 2j}{(v_p/v_s)^2 \cos^2 2j +\sin 2j \sin 2i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ k_{ss}=A \frac{(v_p/v_s)^2 \cos^2(2j)- \sin(2 j) \sin(2 i) }{(v_p/v_s)^2 \cos^2(2j)+ \sin(2 j) \sin(2 i)}. }[/math]

[math]\displaystyle{ k_{ss} }[/math] — это коэффициент отражения моды SV от моды SV, [math]\displaystyle{ k_{sp} }[/math] — это коэффициент отражения моды P от моды SV. Напишем теперь коэффициент отражения в случае волны SH, где А — это амплитуда падающей волны, [math]\displaystyle{ v_s }[/math] — скорость поперечной волны в среде, j — угол отражения моды SH от моды SH и [math]\displaystyle{ k_{sh-sh} }[/math] — это коэффициент отражения SH в SH:

[math]\displaystyle{ k_{sh-sh}=A, }[/math]

что говорит о том, что вся волна отражается при падении на свободную границу.

См. также

Литература

Яновская Т. Б. Основы сейсмологии.-ВВМ, 2006
Аки К.,Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы.-М.:Мир,1983
Сейсморазведка. Справочник геофизика./Под ред. И. И. Гурвича, В. П. Номоконова.- Москва: Недра,1981