Класс PSPACE

Иерархия классов сложности.

Класс сложности PSPACE — набор всех проблем разрешимости в теории сложности вычислений, которые могут быть разрешены машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Машина Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства

Если для данной машины Тьюринга верно, что существует полином p(n), такой что на любом входе размера n она посетит не более p(n) клеток, то такая машина называется машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Можно показать, что:

1. Если машина Тьюринга с пространством, полиномиально ограниченным p(n), то существует константа c, при которой эта машина допускает свой вход длины n не более, чем за [math]\displaystyle{ c ^ {1 + p(n)} }[/math] шагов.

Отсюда следует, что все языки машин Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства — рекурсивные.

Классы PSPACE, NPSPACE

Класс языков PSPACE — множество языков, допустимых детерминированной машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Класс языков NPSPACE — множество языков, допустимых недетерминированной машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства.

Для классов языков PSPACE и NPSPACE верны следующие утверждения:

1. PSPACE = NPSPACE (этот факт доказывается теоремой Сэвича)

2. Контекстно-зависимые языки являются подмножеством PSPACE

3. [math]\displaystyle{ \mbox{NL} \subseteq \mbox{P} \subseteq \mbox{NP} \subseteq \mbox{PSPACE} \subseteq \mbox{EXPTIME} }[/math]

4. [math]\displaystyle{ \mbox{NL} \subsetneq \mbox{PSPACE} \subsetneq \mbox{EXPSPACE} }[/math]

5. Если язык принадлежит PSPACE, то существует машина Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства, такая что она остановится за [math]\displaystyle{ c ^ {p(n)} }[/math] шагов для некоторого c и полинома p(n).

Известно, что хотя бы один из трёх символов включения [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math] в утверждении [math]\displaystyle{ \mbox{NL} \subseteq \mbox{P} \subseteq \mbox{NP} \subseteq \mbox{PSPACE} }[/math] должен быть строгим [math]\displaystyle{ (\subsetneq) }[/math] (то есть исключать равенство множеств, отношение между которыми он описывает), но неизвестно, который из них. Также хотя бы одно подмножество в утверждении [math]\displaystyle{ \mbox{P} \subseteq \mbox{NP} \subseteq \mbox{PSPACE} \subseteq \mbox{EXPTIME} }[/math] должно быть собственным (то есть хотя бы один символ включения должен быть строгим). Есть предположение, что все эти включения строгие [math]\displaystyle{ (\subsetneq) }[/math].

PSPACE-полная задача

PSPACE-полная задача — это такая задача [math]\displaystyle{ \mbox{L} \in \mbox{PSPACE}, }[/math] к которой могут быть сведены по Карпу все проблемы класса PSPACE за полиномиальное время.

Про PSPACE-полную задачу известны следующие факты:

Если [math]\displaystyle{ \mbox{L} }[/math] является PSPACE-полной задачей, то

1.[math]\displaystyle{ \mbox{L}\in \mbox{P} \Rightarrow \mbox{P} = \mbox{PSPACE}; }[/math]

2.[math]\displaystyle{ \mbox{L}\in \mbox{NP} \Rightarrow \mbox{NP} = \mbox{PSPACE}. }[/math]

Пример PSPACE-полной задачи: нахождение истинных булевых формул с кванторами.

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — 528 с. — ISBN 0-201-44124-1.

• Hopcroft, Motwani, Ullman: «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation»